Theorem prodeq1f 12112

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodeq1f.1	|- F/_ k A
prodeq1f.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
prodeq1f	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Proof of Theorem prodeq1f

Dummy variables f j m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3250	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2295	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 845	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2532	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5	1, 4	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) ) )
6		prodeq1f.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k A
7		prodeq1f.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k B
8	6, 7	nfeq 2382	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k A = B
9		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = B -> ( k e. A <-> k e. B ) )
10	9	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = B -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = B /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
12	8, 11	mpteq2da 4178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) )
13	12	seqeq3d 10716	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
14	13	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
16	15	exbidv 1873	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
17	16	rexbidv 2533	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
18	12	seqeq3d 10716	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
19	18	breq1d 4098	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
20	17, 19	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
21	5, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
22	21	rexbidv 2533	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
23		f1oeq3 5573	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
26	25	rexbidv 2533	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
27	22, 26	orbi12d 800	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
28	27	iotabidv 5309	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
29		df-proddc 12111	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
30		df-proddc 12111	. 2 |- prod_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2289	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   F/_wnfc 2361   A.wral 2510   E.wrex 2511   [_csb 3127   C_ wss 3200   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   iotacio 5284   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   <_ cle 8214   # cap 8760   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   ~~> cli 11838   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-seqfrec 10709  df-proddc 12111

This theorem is referenced by:  prodeq1  12113