Theorem prodeq1f 11502

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodeq1f.1	|- F/_ k A
prodeq1f.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
prodeq1f	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Proof of Theorem prodeq1f

Dummy variables f j m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 833	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2470	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5	1, 4	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) ) )
6		prodeq1f.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k A
7		prodeq1f.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k B
8	6, 7	nfeq 2320	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k A = B
9		eleq2 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = B -> ( k e. A <-> k e. B ) )
10	9	ifbid 3546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = B -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = B /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
12	8, 11	mpteq2da 4076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) )
13	12	seqeq3d 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
14	13	breq1d 3997	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
15	14	anbi2d 461	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
16	15	exbidv 1818	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
17	16	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
18	12	seqeq3d 10396	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
19	18	breq1d 3997	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
20	17, 19	anbi12d 470	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
21	5, 20	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
22	21	rexbidv 2471	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
23		f1oeq3 5431	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
24	23	anbi1d 462	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	exbidv 1818	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
26	25	rexbidv 2471	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
27	22, 26	orbi12d 788	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
28	27	iotabidv 5179	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
29		df-proddc 11501	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
30		df-proddc 11501	. 2 |- prod_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2228	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   A.wral 2448   E.wrex 2449   [_csb 3049   C_ wss 3121   ifcif 3525   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   iotacio 5156   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   0cc0 7761   1c1 7762   x. cmul 7766   <_ cle 7942   # cap 8487   NNcn 8865   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952   seqcseq 10388   ~~> cli 11228   prod_cprod 11500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-cnv 4617  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-iota 5158  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-recs 6281  df-frec 6367  df-seqfrec 10389  df-proddc 11501

This theorem is referenced by:  prodeq1  11503