Theorem prodeq1f 11978

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodeq1f.1	|- F/_ k A
prodeq1f.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
prodeq1f	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Proof of Theorem prodeq1f

Dummy variables f j m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2271	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 840	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2508	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5	1, 4	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) ) )
6		prodeq1f.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k A
7		prodeq1f.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k B
8	6, 7	nfeq 2358	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k A = B
9		eleq2 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = B -> ( k e. A <-> k e. B ) )
10	9	ifbid 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = B -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = B /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = if ( k e. B , C , 1 ) )
12	8, 11	mpteq2da 4149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) )
13	12	seqeq3d 10637	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
14	13	breq1d 4069	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
16	15	exbidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
17	16	rexbidv 2509	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
18	12	seqeq3d 10637	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) )
19	18	breq1d 4069	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
20	17, 19	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
21	5, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
22	21	rexbidv 2509	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
23		f1oeq3 5534	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	exbidv 1849	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
26	25	rexbidv 2509	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
27	22, 26	orbi12d 795	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
28	27	iotabidv 5273	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
29		df-proddc 11977	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
30		df-proddc 11977	. 2 |- prod_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2265	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   F/_wnfc 2337   A.wral 2486   E.wrex 2487   [_csb 3101   C_ wss 3174   ifcif 3579   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   iotacio 5249   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   <_ cle 8143   # cap 8689   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   seqcseq 10629   ~~> cli 11704   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500  df-seqfrec 10630  df-proddc 11977

This theorem is referenced by:  prodeq1  11979