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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prodeq1f | Unicode version |
Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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prodeq1f.1 |
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prodeq1f.2 |
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prodeq1f |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | sseq1 3125 |
. . . . . . 7
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2 | eleq2 2204 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | dcbid 824 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | ralbidv 2438 |
. . . . . . 7
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5 | 1, 4 | anbi12d 465 |
. . . . . 6
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6 | prodeq1f.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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7 | prodeq1f.2 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 6, 7 | nfeq 2290 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | eleq2 2204 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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10 | 9 | ifbid 3498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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11 | 10 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
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12 | 8, 11 | mpteq2da 4025 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 12 | seqeq3d 10257 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 13 | breq1d 3947 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | exbidv 1798 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | rexbidv 2439 |
. . . . . . 7
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18 | 12 | seqeq3d 10257 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | breq1d 3947 |
. . . . . . 7
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20 | 17, 19 | anbi12d 465 |
. . . . . 6
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21 | 5, 20 | anbi12d 465 |
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22 | 21 | rexbidv 2439 |
. . . 4
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23 | f1oeq3 5366 |
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24 | 23 | anbi1d 461 |
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25 | 24 | exbidv 1798 |
. . . . 5
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26 | 25 | rexbidv 2439 |
. . . 4
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27 | 22, 26 | orbi12d 783 |
. . 3
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28 | 27 | iotabidv 5117 |
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29 | df-proddc 11352 |
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31 | 28, 29, 30 | 3eqtr4g 2198 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1737 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ral 2422 df-rex 2423 df-v 2691 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-if 3480 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-cnv 4555 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-iota 5096 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-recs 6210 df-frec 6296 df-seqfrec 10250 df-proddc 11352 |
This theorem is referenced by: prodeq1 11354 |
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