Theorem isoini2 5862

Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoini2.1	|- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
isoini2.2	|- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
isoini2	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Proof of Theorem isoini2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5850	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 5499	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-> B )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> H : A -1-1-> B )
5		isoini2.1	. . . . 5 |- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
6		inss1 3379	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { X } ) ) C_ A
7	5, 6	eqsstri 3211	. . . 4 |- C C_ A
8		f1ores 5515	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
9	4, 7, 8	sylancl 413	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
10		isoini 5861	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) ) )
11	5	imaeq2i 5003	. . . . 5 |- ( H " C ) = ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) )
12		isoini2.2	. . . . 5 |- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2251	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " C ) = D )
14		f1oeq3 5490	. . . 4 |- ( ( H " C ) = D -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
16	9, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D )
17		df-isom 5263	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
18	17	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
20		ssralv 3243	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
21	20	ralimdv 2562	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
22	7, 19, 21	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
23		ssralv 3243	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
24	7, 22, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
25		fvres 5578	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( ( H |` C ) ` x ) = ( H ` x ) )
26		fvres 5578	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> ( ( H |` C ) ` y ) = ( H ` y ) )
27	25, 26	breqan12d 4045	. . . . . 6 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
28	27	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
29	28	ralbidva 2490	. . . 4 |- ( x e. C -> ( A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
30	29	ralbiia 2508	. . 3 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
31	24, 30	sylibr 134	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) )
32		df-isom 5263	. 2 |- ( ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) <-> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) ) )
33	16, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   i^i cin 3152   C_ wss 3153   {csn 3618   class class class wbr 4029   `'ccnv 4658   |` cres 4661   "cima 4662   -1-1->wf1 5251   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254   Isom wiso 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263

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