Theorem isoini2 5728

Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoini2.1	|- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
isoini2.2	|- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
isoini2	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Proof of Theorem isoini2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5716	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 5374	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-> B )
4	3	adantr 274	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> H : A -1-1-> B )
5		isoini2.1	. . . . 5 |- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
6		inss1 3301	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { X } ) ) C_ A
7	5, 6	eqsstri 3134	. . . 4 |- C C_ A
8		f1ores 5390	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
9	4, 7, 8	sylancl 410	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
10		isoini 5727	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) ) )
11	5	imaeq2i 4887	. . . . 5 |- ( H " C ) = ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) )
12		isoini2.2	. . . . 5 |- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2198	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " C ) = D )
14		f1oeq3 5366	. . . 4 |- ( ( H " C ) = D -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
16	9, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D )
17		df-isom 5140	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
18	17	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
20		ssralv 3166	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
21	20	ralimdv 2503	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
22	7, 19, 21	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
23		ssralv 3166	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
24	7, 22, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
25		fvres 5453	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( ( H |` C ) ` x ) = ( H ` x ) )
26		fvres 5453	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> ( ( H |` C ) ` y ) = ( H ` y ) )
27	25, 26	breqan12d 3953	. . . . . 6 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
28	27	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
29	28	ralbidva 2434	. . . 4 |- ( x e. C -> ( A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
30	29	ralbiia 2452	. . 3 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
31	24, 30	sylibr 133	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) )
32		df-isom 5140	. 2 |- ( ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) <-> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) ) )
33	16, 31, 32	sylanbrc 414	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   i^i cin 3075   C_ wss 3076   {csn 3532   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   |` cres 4549   "cima 4550   -1-1->wf1 5128   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131   Isom wiso 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140

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