Theorem isoini2 5612

Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoini2.1	|- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
isoini2.2	|- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
isoini2	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Proof of Theorem isoini2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5600	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 5265	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-> B )
4	3	adantr 271	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> H : A -1-1-> B )
5		isoini2.1	. . . . 5 |- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
6		inss1 3221	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { X } ) ) C_ A
7	5, 6	eqsstri 3057	. . . 4 |- C C_ A
8		f1ores 5281	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
9	4, 7, 8	sylancl 405	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
10		isoini 5611	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) ) )
11	5	imaeq2i 4785	. . . . 5 |- ( H " C ) = ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) )
12		isoini2.2	. . . . 5 |- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2146	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " C ) = D )
14		f1oeq3 5259	. . . 4 |- ( ( H " C ) = D -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
16	9, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D )
17		df-isom 5037	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
18	17	simprbi 270	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
19	18	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
20		ssralv 3086	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
21	20	ralimdv 2443	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
22	7, 19, 21	mpsyl 65	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
23		ssralv 3086	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
24	7, 22, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
25		fvres 5342	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( ( H |` C ) ` x ) = ( H ` x ) )
26		fvres 5342	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> ( ( H |` C ) ` y ) = ( H ` y ) )
27	25, 26	breqan12d 3866	. . . . . 6 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
28	27	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
29	28	ralbidva 2377	. . . 4 |- ( x e. C -> ( A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
30	29	ralbiia 2393	. . 3 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
31	24, 30	sylibr 133	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) )
32		df-isom 5037	. 2 |- ( ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) <-> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) ) )
33	16, 31, 32	sylanbrc 409	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   i^i cin 2999   C_ wss 3000   {csn 3450   class class class wbr 3851   `'ccnv 4451   |` cres 4454   "cima 4455   -1-1->wf1 5025   -1-1-onto->wf1o 5027   ` cfv 5028   Isom wiso 5029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037

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