Theorem isoini2 5598

Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoini2.1	|- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
isoini2.2	|- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
isoini2	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Proof of Theorem isoini2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5586	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 5252	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-> B )
4	3	adantr 270	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> H : A -1-1-> B )
5		isoini2.1	. . . . 5 |- C = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
6		inss1 3220	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { X } ) ) C_ A
7	5, 6	eqsstri 3056	. . . 4 |- C C_ A
8		f1ores 5268	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
9	4, 7, 8	sylancl 404	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
10		isoini 5597	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) ) = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) ) )
11	5	imaeq2i 4772	. . . . 5 |- ( H " C ) = ( H " ( A i^i ( `' R " { X } ) ) )
12		isoini2.2	. . . . 5 |- D = ( B i^i ( `' S " { ( H ` X ) } ) )
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2145	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H " C ) = D )
14		f1oeq3 5246	. . . 4 |- ( ( H " C ) = D -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) <-> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D ) )
16	9, 15	mpbid 145	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D )
17		df-isom 5024	. . . . . . 7 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
18	17	simprbi 269	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
19	18	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
20		ssralv 3085	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
21	20	ralimdv 2442	. . . . 5 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
22	7, 19, 21	mpsyl 64	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
23		ssralv 3085	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
24	7, 22, 23	mpsyl 64	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
25		fvres 5329	. . . . . . 7 |- ( x e. C -> ( ( H |` C ) ` x ) = ( H ` x ) )
26		fvres 5329	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> ( ( H |` C ) ` y ) = ( H ` y ) )
27	25, 26	breqan12d 3860	. . . . . 6 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
28	27	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. C ) -> ( ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
29	28	ralbidva 2376	. . . 4 |- ( x e. C -> ( A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
30	29	ralbiia 2392	. . 3 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) <-> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
31	24, 30	sylibr 132	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) )
32		df-isom 5024	. 2 |- ( ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) <-> ( ( H |` C ) : C -1-1-onto-> D /\ A. x e. C A. y e. C ( x R y <-> ( ( H |` C ) ` x ) S ( ( H |` C ) ` y ) ) ) )
33	16, 31, 32	sylanbrc 408	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ X e. A ) -> ( H |` C ) Isom R , S ( C , D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   i^i cin 2998   C_ wss 2999   {csn 3446   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437   |` cres 4440   "cima 4441   -1-1->wf1 5012   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015   Isom wiso 5016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024

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