Theorem ssnnctlemct 12932

Description: Lemma for ssnnct 12933. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssnnctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )

Assertion

Ref	Expression
ssnnctlemct	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, A   f, G

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem ssnnctlemct

Dummy variables g z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2270	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
2	1	dcbid 840	. . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
3	2	cbvralv 2742	. . 3 |- ( A. x e. NN DECID x e. A <-> A. z e. NN DECID z e. A )
4		imassrn 5052	. . . . 5 |- ( `' G " A ) C_ ran `' G
5		1z 9433	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
6		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ )
7		ssnnctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )
8	6, 7	frec2uzf1od 10588	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 )
10		nnuz 9719	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		f1oeq3 5534	. . . . . . . . . 10 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
13	9, 12	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- G : om -1-1-onto-> NN
14		f1ocnv 5557	. . . . . . . 8 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> `' G : NN -1-1-onto-> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- `' G : NN -1-1-onto-> om
16		dff1o5 5553	. . . . . . 7 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om <-> ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om ) )
17	15, 16	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om )
18	17	simpri 113	. . . . 5 |- ran `' G = om
19	4, 18	sseqtri 3235	. . . 4 |- ( `' G " A ) C_ om
20		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z e. A <-> ( G ` y ) e. A ) )
21	20	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( z = ( G ` y ) -> (DECID z e. A <-> DECID ( G ` y ) e. A ) )
22		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A. z e. NN DECID z e. A )
23		f1of 5544	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> G : om --> NN )
24	13, 23	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> G : om --> NN )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> y e. om )
26	24, 25	ffvelcdmd 5739	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. NN )
27	21, 22, 26	rspcdva 2889	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID ( G ` y ) e. A )
28		f1of1 5543	. . . . . . . . . 10 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om -> `' G : NN -1-1-> om )
29	15, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G : NN -1-1-> om
30		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A C_ NN )
31		f1elima 5865	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ ( G ` y ) e. NN /\ A C_ NN ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
32	29, 26, 30, 31	mp3an2i 1355	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
33		f1ocnvfv1 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
34	13, 33	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
36	35	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> y e. ( `' G " A ) ) )
37	32, 36	bitr3d 190	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> y e. ( `' G " A ) ) )
38	37	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> (DECID ( G ` y ) e. A <-> DECID y e. ( `' G " A ) ) )
39	27, 38	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID y e. ( `' G " A ) )
40	39	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) )
41		ssomct 12931	. . . 4 |- ( ( ( `' G " A ) C_ om /\ A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
42	19, 40, 41	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
43	3, 42	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
44		nnex 9077	. . . . . 6 |- NN e. _V
45	44	ssex 4197	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
46		f1ores 5559	. . . . . 6 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ A C_ NN ) -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
47	29, 46	mpan 424	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
48		f1oeng 6871	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 411	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A ~~ ( `' G " A ) )
50		enct 12919	. . . 4 |- ( A ~~ ( `' G " A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
52	51	adantr 276	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
53	43, 52	mpbird 167	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   omcom 4656   `'ccnv 4692   ran crn 4694   |` cres 4695   "cima 4696   -->wf 5286   -1-1->wf1 5287   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967  freccfrec 6499   1oc1o 6518   ~~ cen 6848   ⊔ cdju 7165   1c1 7961   + caddc 7963   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176  df-case 7212  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  ssnnct  12933