ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssnnctlemct Unicode version

Theorem ssnnctlemct 12388
Description: Lemma for ssnnct 12389. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ssnnctlem.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )
Assertion
Ref Expression
ssnnctlemct  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  E. f 
f : om -onto-> ( A 1o ) )
Distinct variable groups:    A, f    x, A    f, G
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem ssnnctlemct
Dummy variables  g  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2233 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
21dcbid 833 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  z  e.  A )
)
32cbvralv 2696 . . 3  |-  ( A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  <->  A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )
4 imassrn 4962 . . . . 5  |-  ( `' G " A ) 
C_  ran  `' G
5 1z 9225 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
6 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
7 ssnnctlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )
86, 7frec2uzf1od 10349 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
10 nnuz 9509 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 f1oeq3 5431 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
139, 12mpbir 145 . . . . . . . 8  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
14 f1ocnv 5453 . . . . . . . 8  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  `' G : NN -1-1-onto-> om )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  `' G : NN -1-1-onto-> om
16 dff1o5 5449 . . . . . . 7  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  <->  ( `' G : NN -1-1-> om  /\  ran  `' G  =  om )
)
1715, 16mpbi 144 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN -1-1-> om  /\ 
ran  `' G  =  om )
1817simpri 112 . . . . 5  |-  ran  `' G  =  om
194, 18sseqtri 3181 . . . 4  |-  ( `' G " A ) 
C_  om
20 eleq1 2233 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
z  e.  A  <->  ( G `  y )  e.  A
) )
2120dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (DECID  z  e.  A  <-> DECID  ( G `  y )  e.  A ) )
22 simplr 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )
23 f1of 5440 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  G : om
--> NN )
2413, 23mp1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  G : om --> NN )
25 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
2624, 25ffvelrnd 5629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  NN )
2721, 22, 26rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  -> DECID  ( G `  y
)  e.  A )
28 f1of1 5439 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN -1-1-> om )
2915, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  `' G : NN -1-1-> om
30 simpll 524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  A  C_  NN )
31 f1elima 5749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  ( G `  y
)  e.  NN  /\  A  C_  NN )  -> 
( ( `' G `  ( G `  y
) )  e.  ( `' G " A )  <-> 
( G `  y
)  e.  A ) )
3229, 26, 30, 31mp3an2i 1337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  (
( `' G `  ( G `  y ) )  e.  ( `' G " A )  <-> 
( G `  y
)  e.  A ) )
33 f1ocnvfv1 5753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN  /\  y  e. 
om )  ->  ( `' G `  ( G `
 y ) )  =  y )
3413, 33mpan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( `' G `  ( G `
 y ) )  =  y )
3534adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  ( `' G `  ( G `
 y ) )  =  y )
3635eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  (
( `' G `  ( G `  y ) )  e.  ( `' G " A )  <-> 
y  e.  ( `' G " A ) ) )
3732, 36bitr3d 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  y  e.  ( `' G " A ) ) )
3837dcbid 833 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  ->  (DECID  ( G `  y )  e.  A  <-> DECID  y  e.  ( `' G " A ) ) )
3927, 38mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. z  e.  NN DECID  z  e.  A )  /\  y  e.  om )  -> DECID  y  e.  ( `' G " A ) )
4039ralrimiva 2543 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. z  e.  NN DECID  z  e.  A
)  ->  A. y  e.  om DECID  y  e.  ( `' G " A ) )
41 ssomct 12387 . . . 4  |-  ( ( ( `' G " A )  C_  om  /\  A. y  e.  om DECID  y  e.  ( `' G " A ) )  ->  E. g 
g : om -onto-> (
( `' G " A ) 1o ) )
4219, 40, 41sylancr 412 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. z  e.  NN DECID  z  e.  A
)  ->  E. g 
g : om -onto-> (
( `' G " A ) 1o ) )
433, 42sylan2b 285 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  E. g 
g : om -onto-> (
( `' G " A ) 1o ) )
44 nnex 8871 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4544ssex 4124 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
46 f1ores 5455 . . . . . 6  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  A  C_  NN )  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
4729, 46mpan 422 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
48 f1oeng 6731 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
4945, 47, 48syl2anc 409 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
50 enct 12375 . . . 4  |-  ( A 
~~  ( `' G " A )  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto-> ( ( `' G " A ) 1o ) ) )
5149, 50syl 14 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto->
( ( `' G " A ) 1o ) ) )
5251adantr 274 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto->
( ( `' G " A ) 1o ) ) )
5343, 52mpbird 166 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  E. f 
f : om -onto-> ( A 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 829    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   omcom 4572   `'ccnv 4608   ran crn 4610    |` cres 4611   "cima 4612   -->wf 5192   -1-1->wf1 5193   -onto->wfo 5194   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850  freccfrec 6366   1oc1o 6385    ~~ cen 6712   ⊔ cdju 7010   1c1 7762    + caddc 7764   NNcn 8865   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-dju 7011  df-inl 7020  df-inr 7021  df-case 7057  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475
This theorem is referenced by:  ssnnct  12389
  Copyright terms: Public domain W3C validator