Theorem ssnnctlemct 13315

Description: Lemma for ssnnct 13316. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssnnctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )

Assertion

Ref	Expression
ssnnctlemct	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, A   f, G

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem ssnnctlemct

Dummy variables g z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
2	1	dcbid 850	. . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
3	2	cbvralv 2786	. . 3 |- ( A. x e. NN DECID x e. A <-> A. z e. NN DECID z e. A )
4		imassrn 5132	. . . . 5 |- ( `' G " A ) C_ ran `' G
5		1z 9649	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
6		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ )
7		ssnnctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )
8	6, 7	frec2uzf1od 10821	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 )
10		nnuz 9937	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		f1oeq3 5624	. . . . . . . . . 10 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
13	9, 12	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- G : om -1-1-onto-> NN
14		f1ocnv 5647	. . . . . . . 8 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> `' G : NN -1-1-onto-> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- `' G : NN -1-1-onto-> om
16		dff1o5 5643	. . . . . . 7 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om <-> ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om ) )
17	15, 16	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om )
18	17	simpri 113	. . . . 5 |- ran `' G = om
19	4, 18	sseqtri 3282	. . . 4 |- ( `' G " A ) C_ om
20		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z e. A <-> ( G ` y ) e. A ) )
21	20	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( z = ( G ` y ) -> (DECID z e. A <-> DECID ( G ` y ) e. A ) )
22		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A. z e. NN DECID z e. A )
23		f1of 5634	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> G : om --> NN )
24	13, 23	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> G : om --> NN )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> y e. om )
26	24, 25	ffvelcdmd 5835	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. NN )
27	21, 22, 26	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID ( G ` y ) e. A )
28		f1of1 5633	. . . . . . . . . 10 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om -> `' G : NN -1-1-> om )
29	15, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G : NN -1-1-> om
30		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A C_ NN )
31		f1elima 5969	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ ( G ` y ) e. NN /\ A C_ NN ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
32	29, 26, 30, 31	mp3an2i 1383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
33		f1ocnvfv1 5973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
34	13, 33	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> y e. ( `' G " A ) ) )
37	32, 36	bitr3d 190	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> y e. ( `' G " A ) ) )
38	37	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> (DECID ( G ` y ) e. A <-> DECID y e. ( `' G " A ) ) )
39	27, 38	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID y e. ( `' G " A ) )
40	39	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) )
41		ssomct 13314	. . . 4 |- ( ( ( `' G " A ) C_ om /\ A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
42	19, 40, 41	sylancr 418	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
43	3, 42	sylan2b 287	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
44		nnex 9289	. . . . . 6 |- NN e. _V
45	44	ssex 4265	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
46		f1ores 5649	. . . . . 6 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ A C_ NN ) -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
47	29, 46	mpan 428	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
48		f1oeng 7033	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 415	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A ~~ ( `' G " A ) )
50		enct 13302	. . . 4 |- ( A ~~ ( `' G " A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
52	51	adantr 276	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
53	43, 52	mpbird 167	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   omcom 4732   `'ccnv 4768   ran crn 4770   |` cres 4771   "cima 4772   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   1oc1o 6670   ~~ cen 7010   ⊔ cdju 7367   1c1 8170   + caddc 8172   NNcn 9283   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378  df-case 7414  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  ssnnct  13316