Theorem ssnnctlemct 12401

Description: Lemma for ssnnct 12402. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssnnctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )

Assertion

Ref	Expression
ssnnctlemct	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, A   f, G

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem ssnnctlemct

Dummy variables g z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
2	1	dcbid 833	. . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
3	2	cbvralv 2696	. . 3 |- ( A. x e. NN DECID x e. A <-> A. z e. NN DECID z e. A )
4		imassrn 4964	. . . . 5 |- ( `' G " A ) C_ ran `' G
5		1z 9238	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
6		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ )
7		ssnnctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )
8	6, 7	frec2uzf1od 10362	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 )
10		nnuz 9522	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		f1oeq3 5433	. . . . . . . . . 10 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
13	9, 12	mpbir 145	. . . . . . . 8 |- G : om -1-1-onto-> NN
14		f1ocnv 5455	. . . . . . . 8 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> `' G : NN -1-1-onto-> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- `' G : NN -1-1-onto-> om
16		dff1o5 5451	. . . . . . 7 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om <-> ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om ) )
17	15, 16	mpbi 144	. . . . . 6 |- ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om )
18	17	simpri 112	. . . . 5 |- ran `' G = om
19	4, 18	sseqtri 3181	. . . 4 |- ( `' G " A ) C_ om
20		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z e. A <-> ( G ` y ) e. A ) )
21	20	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( z = ( G ` y ) -> (DECID z e. A <-> DECID ( G ` y ) e. A ) )
22		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A. z e. NN DECID z e. A )
23		f1of 5442	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> G : om --> NN )
24	13, 23	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> G : om --> NN )
25		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> y e. om )
26	24, 25	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. NN )
27	21, 22, 26	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID ( G ` y ) e. A )
28		f1of1 5441	. . . . . . . . . 10 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om -> `' G : NN -1-1-> om )
29	15, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G : NN -1-1-> om
30		simpll 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A C_ NN )
31		f1elima 5752	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ ( G ` y ) e. NN /\ A C_ NN ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
32	29, 26, 30, 31	mp3an2i 1337	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
33		f1ocnvfv1 5756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
34	13, 33	mpan 422	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
36	35	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> y e. ( `' G " A ) ) )
37	32, 36	bitr3d 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> y e. ( `' G " A ) ) )
38	37	dcbid 833	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> (DECID ( G ` y ) e. A <-> DECID y e. ( `' G " A ) ) )
39	27, 38	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID y e. ( `' G " A ) )
40	39	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) )
41		ssomct 12400	. . . 4 |- ( ( ( `' G " A ) C_ om /\ A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
42	19, 40, 41	sylancr 412	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
43	3, 42	sylan2b 285	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
44		nnex 8884	. . . . . 6 |- NN e. _V
45	44	ssex 4126	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
46		f1ores 5457	. . . . . 6 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ A C_ NN ) -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
47	29, 46	mpan 422	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
48		f1oeng 6735	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 409	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A ~~ ( `' G " A ) )
50		enct 12388	. . . 4 |- ( A ~~ ( `' G " A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
52	51	adantr 274	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
53	43, 52	mpbird 166	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   omcom 4574   `'ccnv 4610   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   1oc1o 6388   ~~ cen 6716   ⊔ cdju 7014   1c1 7775   + caddc 7777   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  ssnnct  12402