Theorem ssnnctlemct 12271

Description: Lemma for ssnnct 12272. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssnnctlem.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )

Assertion

Ref	Expression
ssnnctlemct	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f   x, A   f, G

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem ssnnctlemct

Dummy variables g z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
2	1	dcbid 824	. . . 4 |- ( x = z -> (DECID x e. A <-> DECID z e. A ) )
3	2	cbvralv 2680	. . 3 |- ( A. x e. NN DECID x e. A <-> A. z e. NN DECID z e. A )
4		imassrn 4942	. . . . 5 |- ( `' G " A ) C_ ran `' G
5		1z 9199	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
6		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ )
7		ssnnctlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 1 )
8	6, 7	frec2uzf1od 10315	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 )
10		nnuz 9480	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		f1oeq3 5408	. . . . . . . . . 10 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
13	9, 12	mpbir 145	. . . . . . . 8 |- G : om -1-1-onto-> NN
14		f1ocnv 5430	. . . . . . . 8 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> `' G : NN -1-1-onto-> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- `' G : NN -1-1-onto-> om
16		dff1o5 5426	. . . . . . 7 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om <-> ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om ) )
17	15, 16	mpbi 144	. . . . . 6 |- ( `' G : NN -1-1-> om /\ ran `' G = om )
18	17	simpri 112	. . . . 5 |- ran `' G = om
19	4, 18	sseqtri 3162	. . . 4 |- ( `' G " A ) C_ om
20		eleq1 2220	. . . . . . . 8 |- ( z = ( G ` y ) -> ( z e. A <-> ( G ` y ) e. A ) )
21	20	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( z = ( G ` y ) -> (DECID z e. A <-> DECID ( G ` y ) e. A ) )
22		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A. z e. NN DECID z e. A )
23		f1of 5417	. . . . . . . . 9 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> G : om --> NN )
24	13, 23	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> G : om --> NN )
25		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> y e. om )
26	24, 25	ffvelrnd 5606	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. NN )
27	21, 22, 26	rspcdva 2821	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID ( G ` y ) e. A )
28		f1of1 5416	. . . . . . . . . 10 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om -> `' G : NN -1-1-> om )
29	15, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G : NN -1-1-> om
30		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> A C_ NN )
31		f1elima 5726	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ ( G ` y ) e. NN /\ A C_ NN ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
32	29, 26, 30, 31	mp3an2i 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> ( G ` y ) e. A ) )
33		f1ocnvfv1 5730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
34	13, 33	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( `' G ` ( G ` y ) ) = y )
36	35	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( `' G ` ( G ` y ) ) e. ( `' G " A ) <-> y e. ( `' G " A ) ) )
37	32, 36	bitr3d 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> y e. ( `' G " A ) ) )
38	37	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> (DECID ( G ` y ) e. A <-> DECID y e. ( `' G " A ) ) )
39	27, 38	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) /\ y e. om ) -> DECID y e. ( `' G " A ) )
40	39	ralrimiva 2530	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) )
41		ssomct 12270	. . . 4 |- ( ( ( `' G " A ) C_ om /\ A. y e. om DECID y e. ( `' G " A ) ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
42	19, 40, 41	sylancr 411	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. z e. NN DECID z e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
43	3, 42	sylan2b 285	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) )
44		nnex 8845	. . . . . 6 |- NN e. _V
45	44	ssex 4104	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
46		f1ores 5432	. . . . . 6 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ A C_ NN ) -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
47	29, 46	mpan 421	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
48		f1oeng 6705	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 409	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A ~~ ( `' G " A ) )
50		enct 12258	. . . 4 |- ( A ~~ ( `' G " A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( A C_ NN -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
52	51	adantr 274	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( ( `' G " A ) ⊔ 1o ) ) )
53	43, 52	mpbird 166	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   class class class wbr 3967   |-> cmpt 4028   omcom 4552   `'ccnv 4588   ran crn 4590   |` cres 4591   "cima 4592   -->wf 5169   -1-1->wf1 5170   -onto->wfo 5171   -1-1-onto->wf1o 5172   ` cfv 5173  (class class class)co 5827  freccfrec 6340   1oc1o 6359   ~~ cen 6686   ⊔ cdju 6984   1c1 7736   + caddc 7738   NNcn 8839   ZZcz 9173   ZZ>=cuz 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-1o 6366  df-er 6483  df-en 6689  df-dju 6985  df-inl 6994  df-inr 6995  df-case 7031  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446

This theorem is referenced by:  ssnnct  12272