Theorem ennnfonelemex 12415

Description: Lemma for ennnfone 12426. Extending the sequence ( H ` P ) to include an additional element. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemex.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemex	|- ( ph -> E. i e. NN0 dom ( H ` P ) e. dom ( H ` i ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y   j, G   j, H, k, n   i, H, k   x, H, y, k   j, J   j, N, k, n   i, N   x, N, y   P, j, k, n   x, P, y   P, i   ph, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemex

Dummy variables a b q s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4403	. . . . 5 |- ( n = ( `' N ` P ) -> suc n = suc ( `' N ` P ) )
2	1	raleqdv 2679	. . . 4 |- ( n = ( `' N ` P ) -> ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
3	2	rexbidv 2478	. . 3 |- ( n = ( `' N ` P ) -> ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) )
4		ennnfonelemh.ne	. . 3 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6	5	frechashgf1o 10428	. . . . . 6 |- N : om -1-1-onto-> NN0
7		f1ocnv 5475	. . . . . 6 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
9		f1of 5462	. . . . 5 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
10	8, 9	mp1i 10	. . . 4 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
11		ennnfonelemex.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
12	10, 11	ffvelcdmd 5653	. . 3 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
13	3, 4, 12	rspcdva 2847	. 2 |- ( ph -> E. k e. om A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
14		f1of 5462	. . . . 5 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
15	6, 14	mp1i 10	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> N : om --> NN0 )
16		peano2 4595	. . . . 5 |- ( k e. om -> suc k e. om )
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> suc k e. om )
18	15, 17	ffvelcdmd 5653	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( N ` suc k ) e. NN0 )
19		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
21		fofun 5440	. . . . . . . 8 |- ( F : om -onto-> A -> Fun F )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> Fun F )
23		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- k e. _V
24	23	sucid 4418	. . . . . . . . 9 |- k e. suc k
25		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> k e. om )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> k e. om )
27		fof 5439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
28		fdm 5372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : om --> A -> dom F = om )
29	20, 27, 28	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> dom F = om )
30	26, 29	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> k e. dom F )
31		funfvima 5749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ k e. dom F ) -> ( k e. suc k -> ( F ` k ) e. ( F " suc k ) ) )
32	22, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( k e. suc k -> ( F ` k ) e. ( F " suc k ) ) )
33	24, 32	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( F " suc k ) )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
35		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> F : om -onto-> A )
38	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
39		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = a -> ( F ` j ) = ( F ` a ) )
40	39	neeq2d 2366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = a -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` a ) ) )
41	40	cbvralv 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) )
42	41	rexbii 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) )
43		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
44	43	neeq1d 2365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` a ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` a ) ) )
45	44	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = b -> ( A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) <-> A. a e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` a ) ) )
46	45	cbvrexv 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. k e. om A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) <-> E. b e. om A. a e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` a ) )
47	42, 46	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. a e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` a ) )
48	47	ralbii 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. a e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` a ) )
49	38, 48	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. n e. om E. b e. om A. a e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` a ) )
50		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
51		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
52		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = seq 0 ( G , J )
53	36, 37, 49, 50, 5, 51, 52, 18	ennnfonelemhf1o 12414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) )
54		f1ofun 5464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) -> Fun ( H ` ( N ` suc k ) ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> Fun ( H ` ( N ` suc k ) ) )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> Fun ( H ` ( N ` suc k ) ) )
57	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> P e. NN0 )
58	6, 14	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> N : om --> NN0 )
59	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> suc k e. om )
60	58, 59	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( N ` suc k ) e. NN0 )
61	60	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( N ` suc k ) e. NN0 )
62	57	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> P e. RR )
63	61	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( N ` suc k ) e. RR )
64		f1ocnvfv2 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ P e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` P ) ) = P )
65	6, 57, 64	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` P ) ) = P )
66	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` P ) e. om )
67		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
68	37, 25, 66, 67	ennnfonelemk 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` P ) e. k )
69		elelsuc 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( `' N ` P ) e. k -> ( `' N ` P ) e. suc k )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` P ) e. suc k )
71		0zd 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> 0 e. ZZ )
72	71, 5, 66, 17	frec2uzltd 10403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( ( `' N ` P ) e. suc k -> ( N ` ( `' N ` P ) ) < ( N ` suc k ) ) )
73	70, 72	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` P ) ) < ( N ` suc k ) )
74	65, 73	eqbrtrrd 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> P < ( N ` suc k ) )
75	62, 63, 74	ltled 8076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> P <_ ( N ` suc k ) )
76	36, 37, 38, 50, 5, 51, 52, 57, 61, 75	ennnfoneleminc 12412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( N ` suc k ) ) )
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( N ` suc k ) ) )
78		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> s e. dom ( H ` P ) )
79		funssfv 5542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun ( H ` ( N ` suc k ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` ( N ` suc k ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) = ( ( H ` P ) ` s ) )
80	56, 77, 78, 79	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) = ( ( H ` P ) ` s ) )
81	80	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ s e. dom ( H ` P ) ) -> ( ( H ` P ) ` s ) = ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) )
82	81	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> A. s e. dom ( H ` P ) ( ( H ` P ) ` s ) = ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) )
83	36, 37, 49, 50, 5, 51, 52, 57	ennnfonelemhf1o 12414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )
84		f1ofun 5464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) -> Fun ( H ` P ) )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> Fun ( H ` P ) )
86		eqfunfv 5619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( H ` P ) /\ Fun ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( ( H ` P ) = ( H ` ( N ` suc k ) ) <-> ( dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) /\ A. s e. dom ( H ` P ) ( ( H ` P ) ` s ) = ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) ) ) )
87	85, 55, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( ( H ` P ) = ( H ` ( N ` suc k ) ) <-> ( dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) /\ A. s e. dom ( H ` P ) ( ( H ` P ) ` s ) = ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) ) ) )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( ( H ` P ) = ( H ` ( N ` suc k ) ) <-> ( dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) /\ A. s e. dom ( H ` P ) ( ( H ` P ) ` s ) = ( ( H ` ( N ` suc k ) ) ` s ) ) ) )
89	34, 82, 88	mpbir2and 944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( H ` P ) = ( H ` ( N ` suc k ) ) )
90	89	rneqd 4857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ran ( H ` P ) = ran ( H ` ( N ` suc k ) ) )
91		dff1o5 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) <-> ( ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-> ( F " ( `' N ` P ) ) /\ ran ( H ` P ) = ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
92	83, 91	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-> ( F " ( `' N ` P ) ) /\ ran ( H ` P ) = ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
93	92	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ran ( H ` P ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ran ( H ` P ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
95		f1ocnvfv1 5778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ suc k e. om ) -> ( `' N ` ( N ` suc k ) ) = suc k )
96	6, 17, 95	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc k ) ) = suc k )
97	96	imaeq2d 4971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) = ( F " suc k ) )
98		f1oeq3 5452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) = ( F " suc k ) -> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) <-> ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " suc k ) ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( N ` suc k ) ) ) <-> ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " suc k ) ) )
100	53, 99	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " suc k ) )
101		dff1o5 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-onto-> ( F " suc k ) <-> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-> ( F " suc k ) /\ ran ( H ` ( N ` suc k ) ) = ( F " suc k ) ) )
102	100, 101	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( ( H ` ( N ` suc k ) ) : dom ( H ` ( N ` suc k ) ) -1-1-> ( F " suc k ) /\ ran ( H ` ( N ` suc k ) ) = ( F " suc k ) ) )
103	102	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ran ( H ` ( N ` suc k ) ) = ( F " suc k ) )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ran ( H ` ( N ` suc k ) ) = ( F " suc k ) )
105	90, 94, 104	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` P ) ) = ( F " suc k ) )
106	33, 105	eleqtrrd 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
107		fvelima 5568	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ ( F ` k ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> E. q e. ( `' N ` P ) ( F ` q ) = ( F ` k ) )
108	22, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> E. q e. ( `' N ` P ) ( F ` q ) = ( F ` k ) )
109		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` q ) = ( F ` k ) )
110		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( j = q -> ( F ` j ) = ( F ` q ) )
111	110	neeq2d 2366	. . . . . . . . 9 |- ( j = q -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` q ) ) )
112	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
113		elelsuc 4410	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( `' N ` P ) -> q e. suc ( `' N ` P ) )
114	113	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> q e. suc ( `' N ` P ) )
115	111, 112, 114	rspcdva 2847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` k ) =/= ( F ` q ) )
116	115	necomd 2433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` q ) =/= ( F ` k ) )
117	109, 116	pm2.21ddne 2430	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) /\ ( q e. ( `' N ` P ) /\ ( F ` q ) = ( F ` k ) ) ) -> F. )
118	108, 117	rexlimddv 2599	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) /\ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> F. )
119	118	inegd 1372	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> -. dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
120		dmss 4827	. . . . . 6 |- ( ( H ` P ) C_ ( H ` ( N ` suc k ) ) -> dom ( H ` P ) C_ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
121	76, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> dom ( H ` P ) C_ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
122	35, 19, 4, 50, 5, 51, 52, 11	ennnfonelemom 12409	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` P ) e. om )
123	122	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> dom ( H ` P ) e. om )
124	42	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) ) )
125	124	ralbidv 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. k e. om A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) ) )
126	38, 125	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. a e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` a ) )
127	36, 37, 126, 50, 5, 51, 52, 61	ennnfonelemom 12409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. om )
128		nntri1 6497	. . . . . 6 |- ( ( dom ( H ` P ) e. om /\ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. om ) -> ( dom ( H ` P ) C_ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) <-> -. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. dom ( H ` P ) ) )
129	123, 127, 128	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( dom ( H ` P ) C_ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) <-> -. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. dom ( H ` P ) ) )
130	121, 129	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> -. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. dom ( H ` P ) )
131		nntri3or 6494	. . . . 5 |- ( ( dom ( H ` P ) e. om /\ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. om ) -> ( dom ( H ` P ) e. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) \/ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) \/ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. dom ( H ` P ) ) )
132	123, 127, 131	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> ( dom ( H ` P ) e. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) \/ dom ( H ` P ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) \/ dom ( H ` ( N ` suc k ) ) e. dom ( H ` P ) ) )
133	119, 130, 132	ecase23d 1350	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> dom ( H ` P ) e. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
134		fveq2 5516	. . . . . 6 |- ( i = ( N ` suc k ) -> ( H ` i ) = ( H ` ( N ` suc k ) ) )
135	134	dmeqd 4830	. . . . 5 |- ( i = ( N ` suc k ) -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` ( N ` suc k ) ) )
136	135	eleq2d 2247	. . . 4 |- ( i = ( N ` suc k ) -> ( dom ( H ` P ) e. dom ( H ` i ) <-> dom ( H ` P ) e. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) )
137	136	rspcev 2842	. . 3 |- ( ( ( N ` suc k ) e. NN0 /\ dom ( H ` P ) e. dom ( H ` ( N ` suc k ) ) ) -> E. i e. NN0 dom ( H ` P ) e. dom ( H ` i ) )
138	18, 133, 137	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( k e. om /\ A. j e. suc ( `' N ` P ) ( F ` k ) =/= ( F ` j ) ) ) -> E. i e. NN0 dom ( H ` P ) e. dom ( H ` i ) )
139	13, 138	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> E. i e. NN0 dom ( H ` P ) e. dom ( H ` i ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   u. cun 3128   C_ wss 3130   (/)c0 3423   ifcif 3535   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   suc csuc 4366   omcom 4590   `'ccnv 4626   dom cdm 4627   ran crn 4628   "cima 4630   Fun wfun 5211   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   e. cmpo 5877  freccfrec 6391   ^pm cpm 6649   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   - cmin 8128   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   seqcseq 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pm 6651  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhom  12416