Theorem f1orescnv 5430

Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
f1orescnv	|- ( ( Fun `' F /\ ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P ) -> ( `' F |` P ) : P -1-1-onto-> R )

Proof of Theorem f1orescnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5427	. . 3 |- ( ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P -> `' ( F |` R ) : P -1-1-onto-> R )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P ) -> `' ( F |` R ) : P -1-1-onto-> R )
3		funcnvres 5243	. . . 4 |- ( Fun `' F -> `' ( F |` R ) = ( `' F |` ( F " R ) ) )
4		df-ima 4599	. . . . . 6 |- ( F " R ) = ran ( F |` R )
5		dff1o5 5423	. . . . . . 7 |- ( ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P <-> ( ( F |` R ) : R -1-1-> P /\ ran ( F |` R ) = P ) )
6	5	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P -> ran ( F |` R ) = P )
7	4, 6	syl5eq 2202	. . . . 5 |- ( ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P -> ( F " R ) = P )
8	7	reseq2d 4866	. . . 4 |- ( ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P -> ( `' F |` ( F " R ) ) = ( `' F |` P ) )
9	3, 8	sylan9eq 2210	. . 3 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P ) -> `' ( F |` R ) = ( `' F |` P ) )
10		f1oeq1 5403	. . 3 |- ( `' ( F |` R ) = ( `' F |` P ) -> ( `' ( F |` R ) : P -1-1-onto-> R <-> ( `' F |` P ) : P -1-1-onto-> R ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P ) -> ( `' ( F |` R ) : P -1-1-onto-> R <-> ( `' F |` P ) : P -1-1-onto-> R ) )
12	2, 11	mpbid 146	1 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` R ) : R -1-1-onto-> P ) -> ( `' F |` P ) : P -1-1-onto-> R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   `'ccnv 4585   ran crn 4587   |` cres 4588   "cima 4589   Fun wfun 5164   -1-1->wf1 5167   -1-1-onto->wf1o 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177

This theorem is referenced by:  f1oresrab  5632