ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1orescnv GIF version

Theorem f1orescnv 5489
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5486 . . 3 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃(𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
21adantl 277 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
3 funcnvres 5301 . . . 4 (Fun 𝐹(𝐹𝑅) = (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)))
4 df-ima 4651 . . . . . 6 (𝐹𝑅) = ran (𝐹𝑅)
5 dff1o5 5482 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 ↔ ((𝐹𝑅):𝑅1-1𝑃 ∧ ran (𝐹𝑅) = 𝑃))
65simprbi 275 . . . . . 6 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → ran (𝐹𝑅) = 𝑃)
74, 6eqtrid 2232 . . . . 5 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹𝑅) = 𝑃)
87reseq2d 4919 . . . 4 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)) = (𝐹𝑃))
93, 8sylan9eq 2240 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑃))
10 f1oeq1 5461 . . 3 ((𝐹𝑅) = (𝐹𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
119, 10syl 14 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
122, 11mpbid 147 1 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  ccnv 4637  ran crn 4639  cres 4640  cima 4641  Fun wfun 5222  1-1wf1 5225  1-1-ontowf1o 5227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235
This theorem is referenced by:  f1oresrab  5694
  Copyright terms: Public domain W3C validator