ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1orescnv GIF version

Theorem f1orescnv 5492
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5489 . . 3 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃(𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
21adantl 277 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
3 funcnvres 5304 . . . 4 (Fun 𝐹(𝐹𝑅) = (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)))
4 df-ima 4654 . . . . . 6 (𝐹𝑅) = ran (𝐹𝑅)
5 dff1o5 5485 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 ↔ ((𝐹𝑅):𝑅1-1𝑃 ∧ ran (𝐹𝑅) = 𝑃))
65simprbi 275 . . . . . 6 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → ran (𝐹𝑅) = 𝑃)
74, 6eqtrid 2234 . . . . 5 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹𝑅) = 𝑃)
87reseq2d 4922 . . . 4 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)) = (𝐹𝑃))
93, 8sylan9eq 2242 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑃))
10 f1oeq1 5464 . . 3 ((𝐹𝑅) = (𝐹𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
119, 10syl 14 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
122, 11mpbid 147 1 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  ccnv 4640  ran crn 4642  cres 4643  cima 4644  Fun wfun 5225  1-1wf1 5228  1-1-ontowf1o 5230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238
This theorem is referenced by:  f1oresrab  5697
  Copyright terms: Public domain W3C validator