Theorem f1orescnv 5517

Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
f1orescnv	⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5514	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → ◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → ◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅)
3		funcnvres 5328	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝑅)))
4		df-ima 4673	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝑅) = ran (𝐹 ↾ 𝑅)
5		dff1o5 5510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1→𝑃 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝑅) = 𝑃))
6	5	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → ran (𝐹 ↾ 𝑅) = 𝑃)
7	4, 6	eqtrid 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → (𝐹 “ 𝑅) = 𝑃)
8	7	reseq2d 4943	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝑅)) = (◡𝐹 ↾ 𝑃))
9	3, 8	sylan9eq 2246	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → ◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ 𝑃))
10		f1oeq1 5489	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ 𝑃) → (◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅))
12	2, 11	mpbid 147	1 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ^◡ccnv 4659  ran crn 4661   ↾ cres 4662   “ cima 4663  Fun wfun 5249  –1-1→wf1 5252  –1-1-onto→wf1o 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262

This theorem is referenced by:  f1oresrab  5724