Theorem f1orescnv 5590

Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
f1orescnv	⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → ◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → ◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅)
3		funcnvres 5394	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝑅)))
4		df-ima 4732	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝑅) = ran (𝐹 ↾ 𝑅)
5		dff1o5 5583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1→𝑃 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝑅) = 𝑃))
6	5	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → ran (𝐹 ↾ 𝑅) = 𝑃)
7	4, 6	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → (𝐹 “ 𝑅) = 𝑃)
8	7	reseq2d 5005	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃 → (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝑅)) = (◡𝐹 ↾ 𝑃))
9	3, 8	sylan9eq 2282	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → ◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ 𝑃))
10		f1oeq1 5562	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝑅) = (◡𝐹 ↾ 𝑃) → (◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡(𝐹 ↾ 𝑅):𝑃–1-1-onto→𝑅 ↔ (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅))
12	2, 11	mpbid 147	1 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝑅):𝑅–1-1-onto→𝑃) → (◡𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ^◡ccnv 4718  ran crn 4720   ↾ cres 4721   “ cima 4722  Fun wfun 5312  –1-1→wf1 5315  –1-1-onto→wf1o 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325

This theorem is referenced by:  f1oresrab  5802