Theorem fneu 5274

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fneu	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Distinct variable groups:   y, F   y, B

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem fneu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmo 5185	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y B F y )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E* y B F y )
3		eldmg 4781	. . . . . 6 |- ( B e. dom F -> ( B e. dom F <-> E. y B F y ) )
4	3	ibi 175	. . . . 5 |- ( B e. dom F -> E. y B F y )
5	4	adantl 275	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E. y B F y )
6		exmoeu2 2054	. . . 4 |- ( E. y B F y -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
8	2, 7	mpbid 146	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E! y B F y )
9	8	funfni 5270	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1472   E!weu 2006   E*wmo 2007   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   dom cdm 4586   Fun wfun 5164   Fn wfn 5165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-fun 5172  df-fn 5173

This theorem is referenced by:  fneu2  5275  fnbrfvb  5509  mapsn  6635