Theorem fneu 5235

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fneu	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Distinct variable groups:   y, F   y, B

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem fneu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmo 5146	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y B F y )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E* y B F y )
3		eldmg 4742	. . . . . 6 |- ( B e. dom F -> ( B e. dom F <-> E. y B F y ) )
4	3	ibi 175	. . . . 5 |- ( B e. dom F -> E. y B F y )
5	4	adantl 275	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E. y B F y )
6		exmoeu2 2048	. . . 4 |- ( E. y B F y -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
8	2, 7	mpbid 146	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E! y B F y )
9	8	funfni 5231	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1469   e. wcel 1481   E!weu 2000   E*wmo 2001   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-fun 5133  df-fn 5134

This theorem is referenced by:  fneu2  5236  fnbrfvb  5470  mapsn  6592