Theorem fneu 5334

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fneu	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Distinct variable groups:   y, F   y, B

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem fneu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmo 5245	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y B F y )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E* y B F y )
3		eldmg 4836	. . . . . 6 |- ( B e. dom F -> ( B e. dom F <-> E. y B F y ) )
4	3	ibi 176	. . . . 5 |- ( B e. dom F -> E. y B F y )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E. y B F y )
6		exmoeu2 2085	. . . 4 |- ( E. y B F y -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
8	2, 7	mpbid 147	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E! y B F y )
9	8	funfni 5330	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1502   E!weu 2037   E*wmo 2038   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   dom cdm 4640   Fun wfun 5224   Fn wfn 5225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-fun 5232  df-fn 5233

This theorem is referenced by:  fneu2  5335  fnbrfvb  5571  mapsn  6707