Theorem fneu 5443

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fneu	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Distinct variable groups:   y, F   y, B

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem fneu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmo 5348	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y B F y )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E* y B F y )
3		eldmg 4932	. . . . . 6 |- ( B e. dom F -> ( B e. dom F <-> E. y B F y ) )
4	3	ibi 176	. . . . 5 |- ( B e. dom F -> E. y B F y )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E. y B F y )
6		exmoeu2 2128	. . . 4 |- ( E. y B F y -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
8	2, 7	mpbid 147	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E! y B F y )
9	8	funfni 5439	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   E!weu 2079   E*wmo 2080   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-fun 5335  df-fn 5336

This theorem is referenced by:  fneu2  5444  fnbrfvb  5693  mapsn  6902