Theorem fneu 5292

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fneu	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Distinct variable groups:   y, F   y, B

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem fneu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmo 5203	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y B F y )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E* y B F y )
3		eldmg 4799	. . . . . 6 |- ( B e. dom F -> ( B e. dom F <-> E. y B F y ) )
4	3	ibi 175	. . . . 5 |- ( B e. dom F -> E. y B F y )
5	4	adantl 275	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E. y B F y )
6		exmoeu2 2062	. . . 4 |- ( E. y B F y -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( E* y B F y <-> E! y B F y ) )
8	2, 7	mpbid 146	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> E! y B F y )
9	8	funfni 5288	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> E! y B F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1480   E!weu 2014   E*wmo 2015   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by:  fneu2  5293  fnbrfvb  5527  mapsn  6656