Theorem funfni 5432

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5427	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5429	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2301	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-ial 1582  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-fn 5329

This theorem is referenced by:  fneu  5436  fnbrfvb  5684  fvelrnb  5693  fvelimab  5702  fniinfv  5704  fvco2  5715  eqfnfv  5744  fndmdif  5752  fndmin  5754  elpreima  5766  fniniseg  5767  fniniseg2  5769  fnniniseg2  5770  rexsupp  5771  fnopfv  5777  fnfvelrn  5779  rexrn  5784  ralrn  5785  fsn2  5821  fnressn  5839  eufnfv  5884  rexima  5894  ralima  5895  fniunfv  5902  dff13  5908  foeqcnvco  5930  f1eqcocnv  5931  isocnv2  5952  isoini  5958  f1oiso  5966  fnovex  6050  suppssof1  6252  offveqb  6254  1stexg  6329  2ndexg  6330  smoiso  6467  rdgruledefgg  6540  rdgivallem  6546  frectfr  6565  frecrdg  6573  en1  6972  fnfi  7134  ordiso2  7233  cc2lem  7484  slotex  13108  ressbas2d  13150  ressbasid  13152  strressid  13153  ressval3d  13154  prdsex  13351  prdsval  13355  prdsbaslemss  13356  prdsbas  13358  prdsplusg  13359  prdsmulr  13360  pwsbas  13374  pwselbasb  13375  pwssnf1o  13380  imasex  13387  imasival  13388  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391  imasaddfn  13399  imasaddval  13400  imasaddf  13401  imasmulfn  13402  imasmulval  13403  imasmulf  13404  qusval  13405  qusex  13407  qusaddvallemg  13415  qusaddflemg  13416  qusaddval  13417  qusaddf  13418  qusmulval  13419  qusmulf  13420  xpsfeq  13427  xpsval  13434  ismgm  13439  plusffvalg  13444  grpidvalg  13455  fn0g  13457  fngsum  13470  igsumvalx  13471  gsumfzval  13473  gsumress  13477  gsum0g  13478  issgrp  13485  ismnddef  13500  issubmnd  13524  ress0g  13525  ismhm  13543  mhmex  13544  issubm  13554  0mhm  13568  grppropstrg  13601  grpinvfvalg  13624  grpinvval  13625  grpinvfng  13626  grpsubfvalg  13627  grpsubval  13628  grpressid  13643  grplactfval  13683  qusgrp2  13699  mulgfvalg  13707  mulgval  13708  mulgex  13709  mulgfng  13710  issubg  13759  subgex  13762  issubg2m  13775  isnsg  13788  releqgg  13806  eqgex  13807  eqgfval  13808  eqgen  13813  isghm  13829  ablressid  13921  mgptopng  13941  isrng  13946  rngressid  13966  qusrng  13970  dfur2g  13974  issrg  13977  isring  14012  ringidss  14041  ringressid  14075  qusring2  14078  dvdsrvald  14106  dvdsrex  14111  unitgrp  14129  unitabl  14130  invrfvald  14135  unitlinv  14139  unitrinv  14140  dvrfvald  14146  rdivmuldivd  14157  invrpropdg  14162  dfrhm2  14167  rhmex  14170  rhmunitinv  14191  isnzr2  14197  issubrng  14212  issubrg  14234  subrgugrp  14253  rrgval  14275  isdomn  14282  aprval  14295  aprap  14299  islmod  14304  scaffvalg  14319  rmodislmod  14364  lssex  14367  lsssetm  14369  islssm  14370  islssmg  14371  islss3  14392  lspfval  14401  lspval  14403  lspcl  14404  lspex  14408  sraval  14450  sralemg  14451  srascag  14455  sravscag  14456  sraipg  14457  sraex  14459  rlmsubg  14471  rlmvnegg  14478  ixpsnbasval  14479  lidlex  14486  rspex  14487  lidlss  14489  lidlrsppropdg  14508  qusrhm  14541  mopnset  14565  psrval  14679  fnpsr  14680  psrbasg  14687  psrelbas  14688  psrplusgg  14691  psraddcl  14693  psr0cl  14694  psrnegcl  14696  psr1clfi  14701  mplvalcoe  14703  fnmpl  14706  mplplusgg  14716  vtxvalg  15866  vtxex  15868