Theorem funfni 5361

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5356	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5358	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2266	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   dom cdm 4664   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-fn 5262

This theorem is referenced by:  fneu  5365  fnbrfvb  5604  fvelrnb  5611  fvelimab  5620  fniinfv  5622  fvco2  5633  eqfnfv  5662  fndmdif  5670  fndmin  5672  elpreima  5684  fniniseg  5685  fniniseg2  5687  fnniniseg2  5688  rexsupp  5689  fnopfv  5695  fnfvelrn  5697  rexrn  5702  ralrn  5703  fsn2  5739  fnressn  5751  eufnfv  5796  rexima  5804  ralima  5805  fniunfv  5812  dff13  5818  foeqcnvco  5840  f1eqcocnv  5841  isocnv2  5862  isoini  5868  f1oiso  5876  fnovex  5958  suppssof1  6157  offveqb  6159  1stexg  6234  2ndexg  6235  smoiso  6369  rdgruledefgg  6442  rdgivallem  6448  frectfr  6467  frecrdg  6475  en1  6867  fnfi  7011  ordiso2  7110  cc2lem  7351  slotex  12732  ressbas2d  12773  ressbasid  12775  strressid  12776  ressval3d  12777  prdsex  12973  prdsval  12977  prdsbaslemss  12978  prdsbas  12980  prdsplusg  12981  prdsmulr  12982  pwsbas  12996  pwselbasb  12997  pwssnf1o  13002  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasmulr  13013  imasaddfn  13021  imasaddval  13022  imasaddf  13023  imasmulfn  13024  imasmulval  13025  imasmulf  13026  qusval  13027  qusex  13029  qusaddvallemg  13037  qusaddflemg  13038  qusaddval  13039  qusaddf  13040  qusmulval  13041  qusmulf  13042  xpsfeq  13049  xpsval  13056  ismgm  13061  plusffvalg  13066  grpidvalg  13077  fn0g  13079  fngsum  13092  igsumvalx  13093  gsumfzval  13095  gsumress  13099  gsum0g  13100  issgrp  13107  ismnddef  13122  issubmnd  13146  ress0g  13147  ismhm  13165  mhmex  13166  issubm  13176  0mhm  13190  grppropstrg  13223  grpinvfvalg  13246  grpinvval  13247  grpinvfng  13248  grpsubfvalg  13249  grpsubval  13250  grpressid  13265  grplactfval  13305  qusgrp2  13321  mulgfvalg  13329  mulgval  13330  mulgex  13331  mulgfng  13332  issubg  13381  subgex  13384  issubg2m  13397  isnsg  13410  releqgg  13428  eqgex  13429  eqgfval  13430  eqgen  13435  isghm  13451  ablressid  13543  mgptopng  13563  isrng  13568  rngressid  13588  qusrng  13592  dfur2g  13596  issrg  13599  isring  13634  ringidss  13663  ringressid  13697  qusring2  13700  reldvdsrsrg  13726  dvdsrvald  13727  dvdsrex  13732  unitgrp  13750  unitabl  13751  invrfvald  13756  unitlinv  13760  unitrinv  13761  dvrfvald  13767  rdivmuldivd  13778  invrpropdg  13783  dfrhm2  13788  rhmex  13791  rhmunitinv  13812  isnzr2  13818  issubrng  13833  issubrg  13855  subrgugrp  13874  rrgval  13896  isdomn  13903  aprval  13916  aprap  13920  islmod  13925  scaffvalg  13940  rmodislmod  13985  lssex  13988  lsssetm  13990  islssm  13991  islssmg  13992  islss3  14013  lspfval  14022  lspval  14024  lspcl  14025  lspex  14029  sraval  14071  sralemg  14072  srascag  14076  sravscag  14077  sraipg  14078  sraex  14080  rlmsubg  14092  rlmvnegg  14099  ixpsnbasval  14100  lidlex  14107  rspex  14108  lidlss  14110  lidlrsppropdg  14129  qusrhm  14162  mopnset  14186  psrval  14300  fnpsr  14301  psrbasg  14308  psrelbas  14309  psrplusgg  14312  psraddcl  14314  psr0cl  14315  psrnegcl  14317  psr1clfi  14322  mplvalcoe  14324  fnmpl  14327  mplplusgg  14337