Theorem funfni 5486

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5481	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5483	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2308	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   dom cdm 4776   Fun wfun 5374   Fn wfn 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5383

This theorem is used by:  fneu  5490  fnbrfvb  5744  fvelrnb  5753  fvelimab  5762  fniinfv  5764  fvco2  5777  eqfnfv  5809  fndmdif  5817  fndmin  5819  elpreima  5831  fniniseg  5832  fniniseg2  5834  fnniniseg2  5835  fnopfv  5841  fnfvelrn  5843  rexrn  5848  ralrn  5849  fsn2  5885  fnressn  5904  eufnfv  5952  rexima  5963  ralima  5964  fniunfv  5971  dff13  5977  foeqcnvco  5999  f1eqcocnv  6000  isocnv2  6021  isoini  6027  f1oiso  6035  fnovex  6121  suppssof1  6324  offveqb  6326  1stexg  6405  2ndexg  6406  smoiso  6578  rdgruledefgg  6651  rdgivallem  6657  frectfr  6676  frecrdg  6684  en1  7092  fnfi  7256  ordiso2  7381  cc2lem  7638  slotex  13436  ressbas2d  13480  ressbasid  13482  strressid  13483  ressval3d  13484  imasex  13684  imasival  13685  imasbas  13686  imasplusg  13687  imasmulr  13688  imasaddfn  13696  imasaddval  13697  imasaddf  13698  imasmulfn  13699  imasmulval  13700  imasmulf  13701  qusval  13702  qusex  13704  qusaddvallemg  13712  qusaddflemg  13713  qusaddval  13714  qusaddf  13715  qusmulval  13716  qusmulf  13717  xpsfeq  13724  ismgm  13735  plusffvalg  13740  grpidvalg  13751  fn0g  13753  fngzsum  13766  gzsumvalx  13767  gzsumfzval  13769  gzsumress  13770  gzsum0  13771  issgrp  13776  ismnddef  13789  issubmnd  13813  ress0g  13814  ismhm  13826  mhmex  13827  issubm  13837  0mhm  13851  grppropstrg  13882  grpinvfvalg  13905  grpinvval  13906  grpinvfng  13907  grpsubfvalg  13908  grpsubval  13909  grpressid  13924  grplactfval  13964  qusgrp2  13974  mulgfvalg  13982  mulgval  13983  mulgex  13984  mulgfng  13985  issubg  14034  subgex  14037  issubg2m  14050  isnsg  14063  releqgg  14081  eqgex  14082  eqgfval  14083  eqgen  14088  isghm  14104  cntzex  14149  cntrval  14150  cntzfval  14151  cntzval  14152  ablressid  14228  prdsex  14278  prdsval  14279  prdsbaslemss  14280  prdsbas  14282  prdsplusg  14283  prdsmulr  14284  xpsval  14307  pwsbas  14311  pwselbasb  14312  pwssnf1o  14317  mgptopng  14334  isrng  14339  rngressid  14359  qusrng  14363  dfur2g  14372  issrg  14375  isring  14410  ringidss  14440  ringressid  14476  qusring2  14479  dvdsrvald  14508  dvdsrex  14513  unitgrp  14531  unitabl  14532  invrfvald  14537  unitlinv  14541  unitrinv  14542  dvrfvald  14548  rdivmuldivd  14559  invrpropdg  14564  dfrhm2  14569  rhmex  14572  rhmunitinv  14593  isnzr2  14599  issubrng  14615  issubrg  14637  subrgugrp  14656  rrgval  14678  isdomn  14686  aprval  14699  aprap  14706  aprprop  14709  islmod  14735  scaffvalg  14751  rmodislmod  14796  lssex  14799  lsssetm  14801  islssm  14802  islssmg  14803  islss3  14824  lspfval  14833  lspval  14835  lspcl  14836  lspex  14840  sraval  14882  sralemg  14883  srascag  14887  sravscag  14888  sraipg  14889  sraex  14891  rlmsubg  14903  rlmvnegg  14910  ixpsnbasval  14911  lidlex  14918  rspex  14919  lidlss  14921  lidlrsppropdg  14940  qusrhm  14973  mopnset  14997  aspval  15123  asclfval  15129  psrval  15160  fnpsr  15161  psrbasg  15187  psrelbas  15188  psrplusgg  15191  psraddcl  15193  psrmulrg  15195  psrmulclfilem  15198  psr0cl  15200  psrnegcl  15202  psr1clfi  15207  psrlidmfi  15208  mvrval2  15216  mvrffi  15218  mplvalg  15222  fnmpl  15225  mplplusgg  15236  vtxvalg  16479  vtxex  16481