Theorem funfni 5483

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5478	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5480	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2308	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5380

This theorem is used by:  fneu  5487  fnbrfvb  5741  fvelrnb  5750  fvelimab  5759  fniinfv  5761  fvco2  5774  eqfnfv  5806  fndmdif  5814  fndmin  5816  elpreima  5828  fniniseg  5829  fniniseg2  5831  fnniniseg2  5832  fnopfv  5838  fnfvelrn  5840  rexrn  5845  ralrn  5846  fsn2  5882  fnressn  5901  eufnfv  5949  rexima  5960  ralima  5961  fniunfv  5968  dff13  5974  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  isocnv2  6018  isoini  6024  f1oiso  6032  fnovex  6118  suppssof1  6320  offveqb  6322  1stexg  6401  2ndexg  6402  smoiso  6573  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  frectfr  6671  frecrdg  6679  en1  7086  fnfi  7250  ordiso2  7375  cc2lem  7632  slotex  13428  ressbas2d  13471  ressbasid  13473  strressid  13474  ressval3d  13475  imasex  13675  imasival  13676  imasbas  13677  imasplusg  13678  imasmulr  13679  imasaddfn  13687  imasaddval  13688  imasaddf  13689  imasmulfn  13690  imasmulval  13691  imasmulf  13692  qusval  13693  qusex  13695  qusaddvallemg  13703  qusaddflemg  13704  qusaddval  13705  qusaddf  13706  qusmulval  13707  qusmulf  13708  xpsfeq  13715  ismgm  13726  plusffvalg  13731  grpidvalg  13742  fn0g  13744  fngzsum  13757  gzsumvalx  13758  gzsumfzval  13760  gzsumress  13761  gzsum0  13762  issgrp  13767  ismnddef  13780  issubmnd  13804  ress0g  13805  ismhm  13817  mhmex  13818  issubm  13828  0mhm  13842  grppropstrg  13873  grpinvfvalg  13896  grpinvval  13897  grpinvfng  13898  grpsubfvalg  13899  grpsubval  13900  grpressid  13915  grplactfval  13955  qusgrp2  13965  mulgfvalg  13973  mulgval  13974  mulgex  13975  mulgfng  13976  issubg  14025  subgex  14028  issubg2m  14041  isnsg  14054  releqgg  14072  eqgex  14073  eqgfval  14074  eqgen  14079  isghm  14095  ablressid  14188  prdsex  14221  prdsval  14222  prdsbaslemss  14223  prdsbas  14225  prdsplusg  14226  prdsmulr  14227  xpsval  14250  pwsbas  14254  pwselbasb  14255  pwssnf1o  14260  mgptopng  14277  isrng  14282  rngressid  14302  qusrng  14306  dfur2g  14315  issrg  14318  isring  14353  ringidss  14383  ringressid  14417  qusring2  14420  dvdsrvald  14449  dvdsrex  14454  unitgrp  14472  unitabl  14473  invrfvald  14478  unitlinv  14482  unitrinv  14483  dvrfvald  14489  rdivmuldivd  14500  invrpropdg  14505  dfrhm2  14510  rhmex  14513  rhmunitinv  14534  isnzr2  14540  issubrng  14556  issubrg  14578  subrgugrp  14597  rrgval  14619  isdomn  14627  aprval  14640  aprap  14647  aprprop  14650  islmod  14676  scaffvalg  14692  rmodislmod  14737  lssex  14740  lsssetm  14742  islssm  14743  islssmg  14744  islss3  14765  lspfval  14774  lspval  14776  lspcl  14777  lspex  14781  sraval  14823  sralemg  14824  srascag  14828  sravscag  14829  sraipg  14830  sraex  14832  rlmsubg  14844  rlmvnegg  14851  ixpsnbasval  14852  lidlex  14859  rspex  14860  lidlss  14862  lidlrsppropdg  14881  qusrhm  14914  mopnset  14938  aspval  15064  asclfval  15070  psrval  15099  fnpsr  15100  psrbasg  15114  psrelbas  15115  psrplusgg  15118  psraddcl  15120  psr0cl  15121  psrnegcl  15123  psr1clfi  15128  mplvalcoe  15130  fnmpl  15133  mplplusgg  15143  vtxvalg  16355  vtxex  16357