Theorem funfni 5432

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5427	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5429	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2301	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-ial 1582  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-fn 5329

This theorem is referenced by:  fneu  5436  fnbrfvb  5684  fvelrnb  5693  fvelimab  5702  fniinfv  5704  fvco2  5715  eqfnfv  5744  fndmdif  5752  fndmin  5754  elpreima  5766  fniniseg  5767  fniniseg2  5769  fnniniseg2  5770  rexsupp  5771  fnopfv  5777  fnfvelrn  5779  rexrn  5784  ralrn  5785  fsn2  5821  fnressn  5840  eufnfv  5885  rexima  5895  ralima  5896  fniunfv  5903  dff13  5909  foeqcnvco  5931  f1eqcocnv  5932  isocnv2  5953  isoini  5959  f1oiso  5967  fnovex  6051  suppssof1  6253  offveqb  6255  1stexg  6330  2ndexg  6331  smoiso  6468  rdgruledefgg  6541  rdgivallem  6547  frectfr  6566  frecrdg  6574  en1  6973  fnfi  7135  ordiso2  7234  cc2lem  7485  slotex  13127  ressbas2d  13169  ressbasid  13171  strressid  13172  ressval3d  13173  prdsex  13370  prdsval  13374  prdsbaslemss  13375  prdsbas  13377  prdsplusg  13378  prdsmulr  13379  pwsbas  13393  pwselbasb  13394  pwssnf1o  13399  imasex  13406  imasival  13407  imasbas  13408  imasplusg  13409  imasmulr  13410  imasaddfn  13418  imasaddval  13419  imasaddf  13420  imasmulfn  13421  imasmulval  13422  imasmulf  13423  qusval  13424  qusex  13426  qusaddvallemg  13434  qusaddflemg  13435  qusaddval  13436  qusaddf  13437  qusmulval  13438  qusmulf  13439  xpsfeq  13446  xpsval  13453  ismgm  13458  plusffvalg  13463  grpidvalg  13474  fn0g  13476  fngsum  13489  igsumvalx  13490  gsumfzval  13492  gsumress  13496  gsum0g  13497  issgrp  13504  ismnddef  13519  issubmnd  13543  ress0g  13544  ismhm  13562  mhmex  13563  issubm  13573  0mhm  13587  grppropstrg  13620  grpinvfvalg  13643  grpinvval  13644  grpinvfng  13645  grpsubfvalg  13646  grpsubval  13647  grpressid  13662  grplactfval  13702  qusgrp2  13718  mulgfvalg  13726  mulgval  13727  mulgex  13728  mulgfng  13729  issubg  13778  subgex  13781  issubg2m  13794  isnsg  13807  releqgg  13825  eqgex  13826  eqgfval  13827  eqgen  13832  isghm  13848  ablressid  13940  mgptopng  13961  isrng  13966  rngressid  13986  qusrng  13990  dfur2g  13994  issrg  13997  isring  14032  ringidss  14061  ringressid  14095  qusring2  14098  dvdsrvald  14126  dvdsrex  14131  unitgrp  14149  unitabl  14150  invrfvald  14155  unitlinv  14159  unitrinv  14160  dvrfvald  14166  rdivmuldivd  14177  invrpropdg  14182  dfrhm2  14187  rhmex  14190  rhmunitinv  14211  isnzr2  14217  issubrng  14232  issubrg  14254  subrgugrp  14273  rrgval  14295  isdomn  14302  aprval  14315  aprap  14319  islmod  14324  scaffvalg  14339  rmodislmod  14384  lssex  14387  lsssetm  14389  islssm  14390  islssmg  14391  islss3  14412  lspfval  14421  lspval  14423  lspcl  14424  lspex  14428  sraval  14470  sralemg  14471  srascag  14475  sravscag  14476  sraipg  14477  sraex  14479  rlmsubg  14491  rlmvnegg  14498  ixpsnbasval  14499  lidlex  14506  rspex  14507  lidlss  14509  lidlrsppropdg  14528  qusrhm  14561  mopnset  14585  psrval  14699  fnpsr  14700  psrbasg  14707  psrelbas  14708  psrplusgg  14711  psraddcl  14713  psr0cl  14714  psrnegcl  14716  psr1clfi  14721  mplvalcoe  14723  fnmpl  14726  mplplusgg  14736  vtxvalg  15886  vtxex  15888