Theorem funfni 5354

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5351	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5353	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2263	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   dom cdm 4659   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-ial 1545  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-fn 5257

This theorem is referenced by:  fneu  5358  fnbrfvb  5597  fvelrnb  5604  fvelimab  5613  fniinfv  5615  fvco2  5626  eqfnfv  5655  fndmdif  5663  fndmin  5665  elpreima  5677  fniniseg  5678  fniniseg2  5680  fnniniseg2  5681  rexsupp  5682  fnopfv  5688  fnfvelrn  5690  rexrn  5695  ralrn  5696  fsn2  5732  fnressn  5744  eufnfv  5789  rexima  5797  ralima  5798  fniunfv  5805  dff13  5811  foeqcnvco  5833  f1eqcocnv  5834  isocnv2  5855  isoini  5861  f1oiso  5869  fnovex  5951  suppssof1  6148  offveqb  6150  1stexg  6220  2ndexg  6221  smoiso  6355  rdgruledefgg  6428  rdgivallem  6434  frectfr  6453  frecrdg  6461  en1  6853  fnfi  6995  ordiso2  7094  cc2lem  7326  slotex  12645  ressbas2d  12686  ressbasid  12688  strressid  12689  ressval3d  12690  prdsex  12880  imasex  12888  imasival  12889  imasbas  12890  imasplusg  12891  imasmulr  12892  imasaddfn  12900  imasaddval  12901  imasaddf  12902  imasmulfn  12903  imasmulval  12904  imasmulf  12905  qusval  12906  qusex  12908  qusaddvallemg  12916  qusaddflemg  12917  qusaddval  12918  qusaddf  12919  qusmulval  12920  qusmulf  12921  xpsfeq  12928  xpsval  12935  ismgm  12940  plusffvalg  12945  grpidvalg  12956  fn0g  12958  fngsum  12971  igsumvalx  12972  gsumfzval  12974  gsumress  12978  gsum0g  12979  issgrp  12986  ismnddef  12999  issubmnd  13023  ress0g  13024  ismhm  13033  mhmex  13034  issubm  13044  0mhm  13058  grppropstrg  13091  grpinvfvalg  13114  grpinvval  13115  grpinvfng  13116  grpsubfvalg  13117  grpsubval  13118  grpressid  13133  grplactfval  13173  qusgrp2  13183  mulgfvalg  13191  mulgval  13192  mulgex  13193  mulgfng  13194  issubg  13243  subgex  13246  issubg2m  13259  isnsg  13272  releqgg  13290  eqgex  13291  eqgfval  13292  eqgen  13297  isghm  13313  ablressid  13405  mgptopng  13425  isrng  13430  rngressid  13450  qusrng  13454  dfur2g  13458  issrg  13461  isring  13496  ringidss  13525  ringressid  13559  qusring2  13562  reldvdsrsrg  13588  dvdsrvald  13589  dvdsrex  13594  unitgrp  13612  unitabl  13613  invrfvald  13618  unitlinv  13622  unitrinv  13623  dvrfvald  13629  rdivmuldivd  13640  invrpropdg  13645  dfrhm2  13650  rhmex  13653  rhmunitinv  13674  isnzr2  13680  issubrng  13695  issubrg  13717  subrgugrp  13736  rrgval  13758  isdomn  13765  aprval  13778  aprap  13782  islmod  13787  scaffvalg  13802  rmodislmod  13847  lssex  13850  lsssetm  13852  islssm  13853  islssmg  13854  islss3  13875  lspfval  13884  lspval  13886  lspcl  13887  lspex  13891  sraval  13933  sralemg  13934  srascag  13938  sravscag  13939  sraipg  13940  sraex  13942  rlmsubg  13954  rlmvnegg  13961  ixpsnbasval  13962  lidlex  13969  rspex  13970  lidlss  13972  lidlrsppropdg  13991  qusrhm  14024  psrval  14152  fnpsr  14153  psrbasg  14159  psrelbas  14160  psrplusgg  14162  psraddcl  14164