Theorem funfni 5483

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5478	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5480	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2308	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 415	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-fn 5380

This theorem is used by:  fneu  5487  fnbrfvb  5741  fvelrnb  5750  fvelimab  5759  fniinfv  5761  fvco2  5774  eqfnfv  5806  fndmdif  5814  fndmin  5816  elpreima  5828  fniniseg  5829  fniniseg2  5831  fnniniseg2  5832  fnopfv  5838  fnfvelrn  5840  rexrn  5845  ralrn  5846  fsn2  5882  fnressn  5901  eufnfv  5949  rexima  5960  ralima  5961  fniunfv  5968  dff13  5974  foeqcnvco  5996  f1eqcocnv  5997  isocnv2  6018  isoini  6024  f1oiso  6032  fnovex  6118  suppssof1  6320  offveqb  6322  1stexg  6401  2ndexg  6402  smoiso  6573  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  frectfr  6671  frecrdg  6679  en1  7086  fnfi  7250  ordiso2  7376  cc2lem  7633  slotex  13431  ressbas2d  13475  ressbasid  13477  strressid  13478  ressval3d  13479  imasex  13679  imasival  13680  imasbas  13681  imasplusg  13682  imasmulr  13683  imasaddfn  13691  imasaddval  13692  imasaddf  13693  imasmulfn  13694  imasmulval  13695  imasmulf  13696  qusval  13697  qusex  13699  qusaddvallemg  13707  qusaddflemg  13708  qusaddval  13709  qusaddf  13710  qusmulval  13711  qusmulf  13712  xpsfeq  13719  ismgm  13730  plusffvalg  13735  grpidvalg  13746  fn0g  13748  fngzsum  13761  gzsumvalx  13762  gzsumfzval  13764  gzsumress  13765  gzsum0  13766  issgrp  13771  ismnddef  13784  issubmnd  13808  ress0g  13809  ismhm  13821  mhmex  13822  issubm  13832  0mhm  13846  grppropstrg  13877  grpinvfvalg  13900  grpinvval  13901  grpinvfng  13902  grpsubfvalg  13903  grpsubval  13904  grpressid  13919  grplactfval  13959  qusgrp2  13969  mulgfvalg  13977  mulgval  13978  mulgex  13979  mulgfng  13980  issubg  14029  subgex  14032  issubg2m  14045  isnsg  14058  releqgg  14076  eqgex  14077  eqgfval  14078  eqgen  14083  isghm  14099  cntzex  14144  cntrval  14145  cntzfval  14146  cntzval  14147  ablressid  14223  prdsex  14256  prdsval  14257  prdsbaslemss  14258  prdsbas  14260  prdsplusg  14261  prdsmulr  14262  xpsval  14285  pwsbas  14289  pwselbasb  14290  pwssnf1o  14295  mgptopng  14312  isrng  14317  rngressid  14337  qusrng  14341  dfur2g  14350  issrg  14353  isring  14388  ringidss  14418  ringressid  14452  qusring2  14455  dvdsrvald  14484  dvdsrex  14489  unitgrp  14507  unitabl  14508  invrfvald  14513  unitlinv  14517  unitrinv  14518  dvrfvald  14524  rdivmuldivd  14535  invrpropdg  14540  dfrhm2  14545  rhmex  14548  rhmunitinv  14569  isnzr2  14575  issubrng  14591  issubrg  14613  subrgugrp  14632  rrgval  14654  isdomn  14662  aprval  14675  aprap  14682  aprprop  14685  islmod  14711  scaffvalg  14727  rmodislmod  14772  lssex  14775  lsssetm  14777  islssm  14778  islssmg  14779  islss3  14800  lspfval  14809  lspval  14811  lspcl  14812  lspex  14816  sraval  14858  sralemg  14859  srascag  14863  sravscag  14864  sraipg  14865  sraex  14867  rlmsubg  14879  rlmvnegg  14886  ixpsnbasval  14887  lidlex  14894  rspex  14895  lidlss  14897  lidlrsppropdg  14916  qusrhm  14949  mopnset  14973  aspval  15099  asclfval  15105  psrval  15134  fnpsr  15135  psrbasg  15150  psrelbas  15151  psrplusgg  15154  psraddcl  15156  psrmulrg  15158  psrmulclfilem  15161  psr0cl  15163  psrnegcl  15165  psr1clfi  15170  mplvalcoe  15172  fnmpl  15175  mplplusgg  15185  vtxvalg  16423  vtxex  16425