Theorem funfni 5395

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5390	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5392	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2277	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-ial 1558  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-fn 5293

This theorem is referenced by:  fneu  5399  fnbrfvb  5642  fvelrnb  5649  fvelimab  5658  fniinfv  5660  fvco2  5671  eqfnfv  5700  fndmdif  5708  fndmin  5710  elpreima  5722  fniniseg  5723  fniniseg2  5725  fnniniseg2  5726  rexsupp  5727  fnopfv  5733  fnfvelrn  5735  rexrn  5740  ralrn  5741  fsn2  5777  fnressn  5793  eufnfv  5838  rexima  5846  ralima  5847  fniunfv  5854  dff13  5860  foeqcnvco  5882  f1eqcocnv  5883  isocnv2  5904  isoini  5910  f1oiso  5918  fnovex  6000  suppssof1  6199  offveqb  6201  1stexg  6276  2ndexg  6277  smoiso  6411  rdgruledefgg  6484  rdgivallem  6490  frectfr  6509  frecrdg  6517  en1  6914  fnfi  7064  ordiso2  7163  cc2lem  7413  slotex  12974  ressbas2d  13015  ressbasid  13017  strressid  13018  ressval3d  13019  prdsex  13216  prdsval  13220  prdsbaslemss  13221  prdsbas  13223  prdsplusg  13224  prdsmulr  13225  pwsbas  13239  pwselbasb  13240  pwssnf1o  13245  imasex  13252  imasival  13253  imasbas  13254  imasplusg  13255  imasmulr  13256  imasaddfn  13264  imasaddval  13265  imasaddf  13266  imasmulfn  13267  imasmulval  13268  imasmulf  13269  qusval  13270  qusex  13272  qusaddvallemg  13280  qusaddflemg  13281  qusaddval  13282  qusaddf  13283  qusmulval  13284  qusmulf  13285  xpsfeq  13292  xpsval  13299  ismgm  13304  plusffvalg  13309  grpidvalg  13320  fn0g  13322  fngsum  13335  igsumvalx  13336  gsumfzval  13338  gsumress  13342  gsum0g  13343  issgrp  13350  ismnddef  13365  issubmnd  13389  ress0g  13390  ismhm  13408  mhmex  13409  issubm  13419  0mhm  13433  grppropstrg  13466  grpinvfvalg  13489  grpinvval  13490  grpinvfng  13491  grpsubfvalg  13492  grpsubval  13493  grpressid  13508  grplactfval  13548  qusgrp2  13564  mulgfvalg  13572  mulgval  13573  mulgex  13574  mulgfng  13575  issubg  13624  subgex  13627  issubg2m  13640  isnsg  13653  releqgg  13671  eqgex  13672  eqgfval  13673  eqgen  13678  isghm  13694  ablressid  13786  mgptopng  13806  isrng  13811  rngressid  13831  qusrng  13835  dfur2g  13839  issrg  13842  isring  13877  ringidss  13906  ringressid  13940  qusring2  13943  reldvdsrsrg  13969  dvdsrvald  13970  dvdsrex  13975  unitgrp  13993  unitabl  13994  invrfvald  13999  unitlinv  14003  unitrinv  14004  dvrfvald  14010  rdivmuldivd  14021  invrpropdg  14026  dfrhm2  14031  rhmex  14034  rhmunitinv  14055  isnzr2  14061  issubrng  14076  issubrg  14098  subrgugrp  14117  rrgval  14139  isdomn  14146  aprval  14159  aprap  14163  islmod  14168  scaffvalg  14183  rmodislmod  14228  lssex  14231  lsssetm  14233  islssm  14234  islssmg  14235  islss3  14256  lspfval  14265  lspval  14267  lspcl  14268  lspex  14272  sraval  14314  sralemg  14315  srascag  14319  sravscag  14320  sraipg  14321  sraex  14323  rlmsubg  14335  rlmvnegg  14342  ixpsnbasval  14343  lidlex  14350  rspex  14351  lidlss  14353  lidlrsppropdg  14372  qusrhm  14405  mopnset  14429  psrval  14543  fnpsr  14544  psrbasg  14551  psrelbas  14552  psrplusgg  14555  psraddcl  14557  psr0cl  14558  psrnegcl  14560  psr1clfi  14565  mplvalcoe  14567  fnmpl  14570  mplplusgg  14580  vtxvalg  15730  vtxex  15732