Theorem funfni 5458

Description: Inference to convert a function and domain antecedent. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfni.1	|- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
funfni	|- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Proof of Theorem funfni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 5453	. . 3 |- ( F Fn A -> Fun F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> Fun F )
3		fndm 5455	. . . 4 |- ( F Fn A -> dom F = A )
4	3	eleq2d 2302	. . 3 |- ( F Fn A -> ( B e. dom F <-> B e. A ) )
5	4	biimpar 297	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> B e. dom F )
6		funfni.1	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ph )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   Fn wfn 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-fn 5355

This theorem is referenced by:  fneu  5462  fnbrfvb  5715  fvelrnb  5724  fvelimab  5733  fniinfv  5735  fvco2  5746  eqfnfv  5775  fndmdif  5783  fndmin  5785  elpreima  5797  fniniseg  5798  fniniseg2  5800  fnniniseg2  5801  fnopfv  5807  fnfvelrn  5809  rexrn  5814  ralrn  5815  fsn2  5851  fnressn  5870  eufnfv  5917  rexima  5927  ralima  5928  fniunfv  5935  dff13  5941  foeqcnvco  5963  f1eqcocnv  5964  isocnv2  5985  isoini  5991  f1oiso  5999  fnovex  6083  suppssof1  6284  offveqb  6286  1stexg  6361  2ndexg  6362  smoiso  6533  rdgruledefgg  6606  rdgivallem  6612  frectfr  6631  frecrdg  6639  en1  7039  fnfi  7203  ordiso2  7326  cc2lem  7580  slotex  13239  ressbas2d  13281  ressbasid  13283  strressid  13284  ressval3d  13285  prdsex  13482  prdsval  13486  prdsbaslemss  13487  prdsbas  13489  prdsplusg  13490  prdsmulr  13491  pwsbas  13505  pwselbasb  13506  pwssnf1o  13511  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  imasmulr  13522  imasaddfn  13530  imasaddval  13531  imasaddf  13532  imasmulfn  13533  imasmulval  13534  imasmulf  13535  qusval  13536  qusex  13538  qusaddvallemg  13546  qusaddflemg  13547  qusaddval  13548  qusaddf  13549  qusmulval  13550  qusmulf  13551  xpsfeq  13558  xpsval  13565  ismgm  13570  plusffvalg  13575  grpidvalg  13586  fn0g  13588  fngsum  13601  igsumvalx  13602  gsumfzval  13604  gsumress  13608  gsum0g  13609  issgrp  13616  ismnddef  13631  issubmnd  13655  ress0g  13656  ismhm  13674  mhmex  13675  issubm  13685  0mhm  13699  grppropstrg  13732  grpinvfvalg  13755  grpinvval  13756  grpinvfng  13757  grpsubfvalg  13758  grpsubval  13759  grpressid  13774  grplactfval  13814  qusgrp2  13830  mulgfvalg  13838  mulgval  13839  mulgex  13840  mulgfng  13841  issubg  13890  subgex  13893  issubg2m  13906  isnsg  13919  releqgg  13937  eqgex  13938  eqgfval  13939  eqgen  13944  isghm  13960  ablressid  14052  mgptopng  14073  isrng  14078  rngressid  14098  qusrng  14102  dfur2g  14106  issrg  14109  isring  14144  ringidss  14173  ringressid  14207  qusring2  14210  dvdsrvald  14238  dvdsrex  14243  unitgrp  14261  unitabl  14262  invrfvald  14267  unitlinv  14271  unitrinv  14272  dvrfvald  14278  rdivmuldivd  14289  invrpropdg  14294  dfrhm2  14299  rhmex  14302  rhmunitinv  14323  isnzr2  14329  issubrng  14344  issubrg  14366  subrgugrp  14385  rrgval  14407  isdomn  14415  aprval  14428  aprap  14432  islmod  14439  scaffvalg  14454  rmodislmod  14499  lssex  14502  lsssetm  14504  islssm  14505  islssmg  14506  islss3  14527  lspfval  14536  lspval  14538  lspcl  14539  lspex  14543  sraval  14585  sralemg  14586  srascag  14590  sravscag  14591  sraipg  14592  sraex  14594  rlmsubg  14606  rlmvnegg  14613  ixpsnbasval  14614  lidlex  14621  rspex  14622  lidlss  14624  lidlrsppropdg  14643  qusrhm  14676  mopnset  14700  psrval  14814  fnpsr  14815  psrbasg  14829  psrelbas  14830  psrplusgg  14833  psraddcl  14835  psr0cl  14836  psrnegcl  14838  psr1clfi  14843  mplvalcoe  14845  fnmpl  14848  mplplusgg  14858  vtxvalg  16011  vtxex  16013