Theorem mapsn 6690

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		map0.2	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	snex 4186	. . . 4 |- { B } e. _V
4	1, 3	elmap 6677	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
5		ffn 5366	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
6	2	snid 3624	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5321	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 3663	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		imasng 4994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " { B } ) = { y | B f y }
12		fdm 5372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
13	12	imaeq2d 4971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
14		imadmrn 4981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
15	13, 14	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
16	11, 15	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
17	16	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
18	17	exbidv 1825	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
19	9, 18	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
20	8, 19	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
21		vex 2741	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	snid 3624	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
23		eleq2 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
24	22, 23	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
25		frn 5375	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
26	25	sseld 3155	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
27	24, 26	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
28		dffn4 5445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
29	5, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
30		fof 5439	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
32		feq3 5351	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
33	31, 32	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
34	2, 21	fsn 5689	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
35	33, 34	imbitrdi 161	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
36	27, 35	jcad 307	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
37	36	eximdv 1880	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	20, 37	mpd 13	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
39		df-rex 2461	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40	38, 39	sylibr 134	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
41	2, 21	f1osn 5502	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42		f1oeq1 5450	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
43	41, 42	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44		f1of 5462	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
46		snssi 3737	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47		fss 5378	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
48	45, 46, 47	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
49	48	expcom 116	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
50	49	rexlimiv 2588	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
51	40, 50	impbii 126	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
52	4, 51	bitri 184	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	52	abbi2i 2292	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   E!weu 2026   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004   dom cdm 4627   ran crn 4628   "cima 4630   Fn wfn 5212   -->wf 5213   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216  (class class class)co 5875   ^m cmap 6648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650

This theorem is referenced by:  mapsnen  6811