Theorem mapsn 6636

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		map0.2	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	snex 4147	. . . 4 |- { B } e. _V
4	1, 3	elmap 6623	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
5		ffn 5320	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
6	2	snid 3591	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5275	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	5, 6, 7	sylancl 410	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 3630	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		imasng 4952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " { B } ) = { y | B f y }
12		imadmrn 4939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
13		fdm 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
14	13	imaeq2d 4929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
15	12, 14	syl5reqr 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
16	11, 15	eqtr3id 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
17	16	eqeq1d 2166	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
18	17	exbidv 1805	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
19	9, 18	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
20	8, 19	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
21		vex 2715	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	snid 3591	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
23		eleq2 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
24	22, 23	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
25		frn 5329	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
26	25	sseld 3127	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
27	24, 26	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
28		dffn4 5399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
29	5, 28	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
30		fof 5393	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
32		feq3 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
33	31, 32	syl5ibcom 154	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
34	2, 21	fsn 5640	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
35	33, 34	syl6ib 160	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
36	27, 35	jcad 305	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
37	36	eximdv 1860	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	20, 37	mpd 13	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
39		df-rex 2441	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40	38, 39	sylibr 133	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
41	2, 21	f1osn 5455	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42		f1oeq1 5404	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
43	41, 42	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44		f1of 5415	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
46		snssi 3701	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47		fss 5332	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
48	45, 46, 47	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
49	48	expcom 115	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
50	49	rexlimiv 2568	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
51	40, 50	impbii 125	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
52	4, 51	bitri 183	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	52	abbi2i 2272	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   E!weu 2006   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3966   dom cdm 4587   ran crn 4588   "cima 4590   Fn wfn 5166   -->wf 5167   -onto->wfo 5169   -1-1-onto->wf1o 5170  (class class class)co 5825   ^m cmap 6594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-map 6596

This theorem is referenced by:  mapsnen  6757