Theorem mapsn 6902

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		map0.2	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	snex 4281	. . . 4 |- { B } e. _V
4	1, 3	elmap 6889	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
5		ffn 5489	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
6	2	snid 3704	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5443	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 3745	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		imasng 5108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " { B } ) = { y | B f y }
12		fdm 5495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
13	12	imaeq2d 5082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
14		imadmrn 5092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
15	13, 14	eqtr3di 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
16	11, 15	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
17	16	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
18	17	exbidv 1873	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
19	9, 18	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
20	8, 19	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
21		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	snid 3704	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
23		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
24	22, 23	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
25		frn 5498	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
26	25	sseld 3227	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
27	24, 26	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
28		dffn4 5574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
29	5, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
30		fof 5568	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
32		feq3 5474	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
33	31, 32	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
34	2, 21	fsn 5827	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
35	33, 34	imbitrdi 161	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
36	27, 35	jcad 307	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
37	36	eximdv 1928	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	20, 37	mpd 13	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
39		df-rex 2517	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40	38, 39	sylibr 134	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
41	2, 21	f1osn 5634	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42		f1oeq1 5580	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
43	41, 42	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44		f1of 5592	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
46		snssi 3822	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47		fss 5501	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
48	45, 46, 47	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
49	48	expcom 116	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
50	49	rexlimiv 2645	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
51	40, 50	impbii 126	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
52	4, 51	bitri 184	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	52	abbi2i 2346	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   E!weu 2079   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   {csn 3673   <.cop 3676   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   ran crn 4732   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   -1-1-onto->wf1o 5332  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862

This theorem is referenced by:  mapsnen  7029