Theorem mapsn 6758

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		map0.2	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	snex 4219	. . . 4 |- { B } e. _V
4	1, 3	elmap 6745	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
5		ffn 5410	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
6	2	snid 3654	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5365	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 3693	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		imasng 5035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " { B } ) = { y | B f y }
12		fdm 5416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
13	12	imaeq2d 5010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
14		imadmrn 5020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
15	13, 14	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
16	11, 15	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
17	16	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
18	17	exbidv 1839	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
19	9, 18	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
20	8, 19	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
21		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	snid 3654	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
23		eleq2 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
24	22, 23	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
25		frn 5419	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
26	25	sseld 3183	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
27	24, 26	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
28		dffn4 5489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
29	5, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
30		fof 5483	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
32		feq3 5395	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
33	31, 32	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
34	2, 21	fsn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
35	33, 34	imbitrdi 161	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
36	27, 35	jcad 307	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
37	36	eximdv 1894	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	20, 37	mpd 13	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
39		df-rex 2481	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40	38, 39	sylibr 134	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
41	2, 21	f1osn 5547	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42		f1oeq1 5495	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
43	41, 42	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44		f1of 5507	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
46		snssi 3767	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47		fss 5422	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
48	45, 46, 47	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
49	48	expcom 116	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
50	49	rexlimiv 2608	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
51	40, 50	impbii 126	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
52	4, 51	bitri 184	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	52	abbi2i 2311	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   E!weu 2045   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   {csn 3623   <.cop 3626   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   ran crn 4665   "cima 4667   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718

This theorem is referenced by:  mapsnen  6879