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Theorem mapsn 6550
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 map0.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32snex 4077 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
41, 3elmap 6537 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
5 ffn 5240 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
62snid 3524 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5195 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
85, 6, 7sylancl 407 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3561 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 imasng 4872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  (
f " { B } )  =  {
y  |  B f y } )
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" { B }
)  =  { y  |  B f y }
12 imadmrn 4859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
13 fdm 5246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1413imaeq2d 4849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
1512, 14syl5reqr 2163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1611, 15syl5eqr 2162 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1716eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1817exbidv 1779 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
199, 18syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
208, 19mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
21 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221snid 3524 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
23 eleq2 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2422, 23mpbiri 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
25 frn 5249 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2625sseld 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2724, 26syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
28 dffn4 5319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
295, 28sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
30 fof 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
32 feq3 5225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3331, 32syl5ibcom 154 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
342, 21fsn 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3533, 34syl6ib 160 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3627, 35jcad 303 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3736eximdv 1834 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3820, 37mpd 13 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
39 df-rex 2397 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4038, 39sylibr 133 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
412, 21f1osn 5373 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42 f1oeq1 5324 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4341, 42mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44 f1of 5333 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4543, 44syl 14 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
46 snssi 3632 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
47 fss 5252 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4845, 46, 47syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
4948expcom 115 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5049rexlimiv 2518 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5140, 50impbii 125 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
524, 51bitri 183 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5352abbi2i 2230 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E!weu 1975   {cab 2101   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   {csn 3495   <.cop 3498   class class class wbr 3897   dom cdm 4507   ran crn 4508   "cima 4510    Fn wfn 5086   -->wf 5087   -onto->wfo 5089   -1-1-onto->wf1o 5090  (class class class)co 5740    ^m cmap 6508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-map 6510
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