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Theorem mapsn 6668
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 map0.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32snex 4171 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
41, 3elmap 6655 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
5 ffn 5347 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
62snid 3614 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5302 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
85, 6, 7sylancl 411 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3653 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 imasng 4976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  (
f " { B } )  =  {
y  |  B f y } )
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" { B }
)  =  { y  |  B f y }
12 fdm 5353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1312imaeq2d 4953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
14 imadmrn 4963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
1513, 14eqtr3di 2218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1611, 15eqtr3id 2217 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1716eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1817exbidv 1818 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
199, 18syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
208, 19mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
21 vex 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221snid 3614 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
23 eleq2 2234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2422, 23mpbiri 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
25 frn 5356 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2625sseld 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2724, 26syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
28 dffn4 5426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
295, 28sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
30 fof 5420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
32 feq3 5332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3331, 32syl5ibcom 154 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
342, 21fsn 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3533, 34syl6ib 160 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3627, 35jcad 305 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3736eximdv 1873 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3820, 37mpd 13 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
39 df-rex 2454 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4038, 39sylibr 133 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
412, 21f1osn 5482 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42 f1oeq1 5431 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4341, 42mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44 f1of 5442 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4543, 44syl 14 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
46 snssi 3724 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
47 fss 5359 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4845, 46, 47syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
4948expcom 115 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5049rexlimiv 2581 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5140, 50impbii 125 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
524, 51bitri 183 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5352abbi2i 2285 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019    e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   ran crn 4612   "cima 4614    Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197  (class class class)co 5853    ^m cmap 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628
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