Theorem mapsn 6668

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		map0.2	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	snex 4171	. . . 4 |- { B } e. _V
4	1, 3	elmap 6655	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
5		ffn 5347	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
6	2	snid 3614	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5302	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	5, 6, 7	sylancl 411	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 3653	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		imasng 4976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( f " { B } ) = { y | B f y }
12		fdm 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
13	12	imaeq2d 4953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
14		imadmrn 4963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
15	13, 14	eqtr3di 2218	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
16	11, 15	eqtr3id 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
17	16	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
18	17	exbidv 1818	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
19	9, 18	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
20	8, 19	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
21		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	snid 3614	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
23		eleq2 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
24	22, 23	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
25		frn 5356	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
26	25	sseld 3146	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
27	24, 26	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
28		dffn4 5426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
29	5, 28	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
30		fof 5420	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
32		feq3 5332	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
33	31, 32	syl5ibcom 154	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
34	2, 21	fsn 5668	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
35	33, 34	syl6ib 160	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
36	27, 35	jcad 305	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
37	36	eximdv 1873	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	20, 37	mpd 13	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
39		df-rex 2454	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40	38, 39	sylibr 133	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
41	2, 21	f1osn 5482	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42		f1oeq1 5431	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
43	41, 42	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44		f1of 5442	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
46		snssi 3724	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47		fss 5359	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
48	45, 46, 47	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
49	48	expcom 115	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
50	49	rexlimiv 2581	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
51	40, 50	impbii 125	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
52	4, 51	bitri 183	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	52	abbi2i 2285	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   ran crn 4612   "cima 4614   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628

This theorem is referenced by:  mapsnen  6789