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Theorem mapsn 6636
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 map0.2 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32snex 4147 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
41, 3elmap 6623 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
5 ffn 5320 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
62snid 3591 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5275 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
85, 6, 7sylancl 410 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3630 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 imasng 4952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  (
f " { B } )  =  {
y  |  B f y } )
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" { B }
)  =  { y  |  B f y }
12 imadmrn 4939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
13 fdm 5326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1413imaeq2d 4929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
1512, 14syl5reqr 2205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1611, 15eqtr3id 2204 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1716eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1817exbidv 1805 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
199, 18syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
208, 19mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
21 vex 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221snid 3591 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
23 eleq2 2221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2422, 23mpbiri 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
25 frn 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2625sseld 3127 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2724, 26syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
28 dffn4 5399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
295, 28sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
30 fof 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
32 feq3 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3331, 32syl5ibcom 154 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
342, 21fsn 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3533, 34syl6ib 160 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3627, 35jcad 305 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3736eximdv 1860 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3820, 37mpd 13 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
39 df-rex 2441 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4038, 39sylibr 133 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
412, 21f1osn 5455 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
42 f1oeq1 5404 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4341, 42mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
44 f1of 5415 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4543, 44syl 14 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
46 snssi 3701 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
47 fss 5332 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4845, 46, 47syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
4948expcom 115 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5049rexlimiv 2568 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5140, 50impbii 125 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
524, 51bitri 183 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5352abbi2i 2272 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335   E.wex 1472   E!weu 2006    e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3966   dom cdm 4587   ran crn 4588   "cima 4590    Fn wfn 5166   -->wf 5167   -onto->wfo 5169   -1-1-onto->wf1o 5170  (class class class)co 5825    ^m cmap 6594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-map 6596
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