Theorem foelcdmi 5609

Description: A member of a surjective function's codomain is a value of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
foelcdmi	|- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, Y

Proof of Theorem foelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		forn 5479	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
2	1	eleq2d 2263	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> Y e. B ) )
3		fofn 5478	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
4		fvelrnb 5604	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
6	2, 5	bitr3d 190	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. B <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
7	6	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   ran crn 4660   Fn wfn 5249   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fo 5260  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  mhmid  13185  mhmmnd  13186  ghmgrp  13188  ghmcmn  13397  imasabl  13406