Theorem foelcdmi 5631

Description: A member of a surjective function's codomain is a value of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
foelcdmi	|- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, Y

Proof of Theorem foelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		forn 5501	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
2	1	eleq2d 2275	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> Y e. B ) )
3		fofn 5500	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
4		fvelrnb 5626	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
6	2, 5	bitr3d 190	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. B <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
7	6	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   ran crn 4676   Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  mhmid  13451  mhmmnd  13452  ghmgrp  13454  ghmcmn  13663  imasabl  13672