Theorem foelcdmi 5613

Description: A member of a surjective function's codomain is a value of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
foelcdmi	|- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, Y

Proof of Theorem foelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		forn 5483	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
2	1	eleq2d 2266	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> Y e. B ) )
3		fofn 5482	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
4		fvelrnb 5608	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. ran F <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
6	2, 5	bitr3d 190	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( Y e. B <-> E. x e. A ( F ` x ) = Y ) )
7	6	biimpa 296	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ Y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  mhmid  13245  mhmmnd  13246  ghmgrp  13248  ghmcmn  13457  imasabl  13466