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Theorem mhmmnd 12856
Description: The image of a monoid  G under a monoid homomorphism  F is a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
ghmgrp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ghmgrp.y  |-  Y  =  ( Base `  H
)
ghmgrp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ghmgrp.q  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
ghmgrp.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
mhmmnd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Assertion
Ref Expression
mhmmnd  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
Distinct variable groups:    x, F, y   
x, G, y    x,  .+ , y    x, H, y   
x, X, y    x, Y, y    x,  .+^ , y    ph, x, y

Proof of Theorem mhmmnd
Dummy variables  a  d  i  j  k  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  i )  =  a )
2 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  j )  =  b )
31, 2oveq12d 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  =  ( a  .+^  b )
)
4 simp-5l 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ph )
5 ghmgrp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
64, 5syl3an1 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
7 simp-4r 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  i  e.  X )
8 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  j  e.  X )
96, 7, 8mhmlem 12854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
10 ghmgrp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
11 fof 5433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
1312ad5antr 496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  F : X
--> Y )
14 mhmmnd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
1514ad5antr 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  G  e.  Mnd )
16 ghmgrp.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
17 ghmgrp.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17mndcl 12703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X )  ->  ( i  .+  j
)  e.  X )
1915, 7, 8, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( i  .+  j )  e.  X
)
2013, 19ffvelcdmd 5647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  e.  Y
)
219, 20eqeltrrd 2255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  e.  Y
)
223, 21eqeltrrd 2255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( a  .+^  b )  e.  Y
)
23 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  b  e.  Y )
24 foelcdmi 5563 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  b  e.  Y
)  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2510, 23, 24syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2625ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2722, 26r19.29a 2620 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  -> 
( a  .+^  b )  e.  Y )
28 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  a  e.  Y )
29 foelcdmi 5563 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  a  e.  Y
)  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
3010, 28, 29syl2an 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
3127, 30r19.29a 2620 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( a  .+^  b )  e.  Y )
32 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  ph )
33 simplrl 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  a  e.  Y )
34 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  b  e.  Y )
35 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  c  e.  Y )
3614ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y )
)  /\  i  e.  X )  ->  G  e.  Mnd )
3736ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  G  e.  Mnd )
38 simp-6r 546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  i  e.  X )
39 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  j  e.  X )
40 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  k  e.  X )
4116, 17mndass 12704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  X  /\  k  e.  X
) )  ->  (
( i  .+  j
)  .+  k )  =  ( i  .+  ( j  .+  k
) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl13anc 1240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
i  .+  j )  .+  k )  =  ( i  .+  ( j 
.+  k ) ) )
4342fveq2d 5514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( ( i  .+  j )  .+  k
) )  =  ( F `  ( i 
.+  ( j  .+  k ) ) ) )
44 simp-7l 547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ph )
4544, 5syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
4637, 38, 39, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( i  .+  j )  e.  X
)
4745, 46, 40mhmlem 12854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( ( i  .+  j )  .+  k
) )  =  ( ( F `  (
i  .+  j )
)  .+^  ( F `  k ) ) )
4816, 17mndcl 12703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  j  e.  X  /\  k  e.  X )  ->  ( j  .+  k
)  e.  X )
4937, 39, 40, 48syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( j  .+  k )  e.  X
)
5045, 38, 49mhmlem 12854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( i  .+  (
j  .+  k )
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  ( j  .+  k
) ) ) )
5143, 47, 503eqtr3d 2218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  ( i  .+  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( F `  ( j  .+  k
) ) ) )
52 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  ph )
5352, 5syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
54 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  i  e.  X )
55 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  j  e.  X )
5653, 54, 55mhmlem 12854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
5744, 38, 39, 56syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
5857oveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  ( i  .+  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) ) )
5945, 39, 40mhmlem 12854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( j  .+  k
) )  =  ( ( F `  j
)  .+^  ( F `  k ) ) )
6059oveq2d 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  (
j  .+  k )
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( ( F `
 j )  .+^  ( F `  k ) ) ) )
6151, 58, 603eqtr3d 2218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( ( F `
 j )  .+^  ( F `  k ) ) ) )
62 simp-5r 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  i )  =  a )
63 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  j )  =  b )
6462, 63oveq12d 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  =  ( a  .+^  b )
)
65 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  k )  =  c )
6664, 65oveq12d 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( a  .+^  b )  .+^  c ) )
6763, 65oveq12d 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  j )  .+^  ( F `  k
) )  =  ( b  .+^  c )
)
6862, 67oveq12d 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( ( F `  j )  .+^  ( F `
 k ) ) )  =  ( a 
.+^  ( b  .+^  c ) ) )
6961, 66, 683eqtr3d 2218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
70 foelcdmi 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  c  e.  Y
)  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7110, 70sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
72713ad2antr3 1164 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7372ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7469, 73r19.29a 2620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( (
a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
75253adantr3 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
7675ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
7774, 76r19.29a 2620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  -> 
( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
78303adantr3 1158 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
7977, 78r19.29a 2620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
8032, 33, 34, 35, 79syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  (
( a  .+^  b ) 
.+^  c )  =  ( a  .+^  ( b 
.+^  c ) ) )
8180ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
8231, 81jca 306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( ( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) ) )
8382ralrimivva 2559 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) ) )
84 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
8516, 84mndidcl 12710 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8614, 85syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  X )
8712, 86ffvelcdmd 5647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  e.  Y )
88 simplll 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ph )
8988, 5syl3an1 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
9014ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  G  e.  Mnd )
9190, 85syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
92 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  i  e.  X )
9389, 91, 92mhmlem 12854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( ( 0g `  G )  .+  i
) )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  ( F `  i ) ) )
9416, 17, 84mndlid 12715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  i
)  =  i )
9590, 92, 94syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  i )  =  i )
9695fveq2d 5514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( ( 0g `  G )  .+  i
) )  =  ( F `  i ) )
9793, 96eqtr3d 2212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  ( F `  i ) )  =  ( F `
 i ) )
98 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  i )  =  a )
9998oveq2d 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  ( F `  i ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  G ) ) 
.+^  a ) )
10097, 99, 983eqtr3d 2218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a )
10189, 92, 91mhmlem 12854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( i  .+  ( 0g `  G ) ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) ) )
10216, 17, 84mndrid 12716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X )  ->  ( i  .+  ( 0g `  G ) )  =  i )
10390, 92, 102syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( i  .+  ( 0g `  G
) )  =  i )
104103fveq2d 5514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( i  .+  ( 0g `  G ) ) )  =  ( F `
 i ) )
105101, 104eqtr3d 2212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  ( F `
 i ) )
10698oveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) ) )
107105, 106, 983eqtr3d 2218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a )
108100, 107jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( (
( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )
10910, 29sylan 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
110108, 109r19.29a 2620 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )
111110ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  ( ( ( F `
 ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  ( a  .+^  ( F `  ( 0g
`  G ) ) )  =  a ) )
112 oveq1 5875 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( d  .+^  a )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a ) )
113112eqeq1d 2186 . . . . 5  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( (
d  .+^  a )  =  a  <->  ( ( F `
 ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a ) )
114113ovanraleqv 5892 . . . 4  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( A. a  e.  Y  (
( d  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  d )  =  a )  <->  A. a  e.  Y  ( (
( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) ) )
115114rspcev 2841 . . 3  |-  ( ( ( F `  ( 0g `  G ) )  e.  Y  /\  A. a  e.  Y  (
( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )  ->  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( (
d  .+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  d )  =  a ) )
11687, 111, 115syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( ( d  .+^  a )  =  a  /\  ( a  .+^  d )  =  a ) )
117 ghmgrp.y . . 3  |-  Y  =  ( Base `  H
)
118 ghmgrp.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
119117, 118ismnd 12699 . 2  |-  ( H  e.  Mnd  <->  ( A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  (
( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  (
( a  .+^  b ) 
.+^  c )  =  ( a  .+^  ( b 
.+^  c ) ) )  /\  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( (
d  .+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  d )  =  a ) ) )
12083, 116, 119sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   -->wf 5207   -onto->wfo 5209   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   0gc0g 12640   Mndcmnd 12696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fo 5217  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697
This theorem is referenced by:  mhmfmhm  12857  ghmgrp  12858
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