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Theorem mhmmnd 12831
Description: The image of a monoid G under a monoid homomorphism F is a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmgrp.x |- X = ( Base ` G )
ghmgrp.y |- Y = ( Base ` H )
ghmgrp.p |- .+ = ( +g ` G )
ghmgrp.q |- .+^ = ( +g ` H )
ghmgrp.1 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
mhmmnd.3 |- ( ph -> G e. Mnd )
Assertion
Ref Expression
mhmmnd |- ( ph -> H e. Mnd )
Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   x, .+ , y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   x, .+^ , y   ph, x, y
Proof of Theorem mhmmnd
Dummy variables a d i j k b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( F ` i ) = a )
2 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( F ` j ) = b )
31, 2oveq12d 5875 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) = ( a .+^ b ) )
4 simp-5l 539 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ph )
5 ghmgrp.f . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
64, 5syl3an1 1267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
7 simp-4r 538 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> i e. X )
8 simplr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> j e. X )
96, 7, 8mhmlem 12829 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( F ` ( i .+ j ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) )
10 ghmgrp.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
11 fof 5422 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : X --> Y )
1312ad5antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> F : X --> Y )
14 mhmmnd.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Mnd )
1514ad5antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> G e. Mnd )
16 ghmgrp.x . . . . . . . . . . 11 |- X = ( Base ` G )
17 ghmgrp.p . . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
1816, 17mndcl 12681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ i e. X /\ j e. X ) -> ( i .+ j ) e. X )
1915, 7, 8, 18syl3anc 1234 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( i .+ j ) e. X )
2013, 19ffvelrnd 5636 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( F ` ( i .+ j ) ) e. Y )
219, 20eqeltrrd 2249 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) e. Y )
223, 21eqeltrrd 2249 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( a .+^ b ) e. Y )
23 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( a e. Y /\ b e. Y ) -> b e. Y )
24 foelrni 5552 . . . . . . . 8 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ b e. Y ) -> E. j e. X ( F ` j ) = b )
2510, 23, 24syl2an 287 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) -> E. j e. X ( F ` j ) = b )
2625ad2antrr 486 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> E. j e. X ( F ` j ) = b )
2722, 26r19.29a 2614 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( a .+^ b ) e. Y )
28 simpl 108 . . . . . 6 |- ( ( a e. Y /\ b e. Y ) -> a e. Y )
29 foelrni 5552 . . . . . 6 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ a e. Y ) -> E. i e. X ( F ` i ) = a )
3010, 28, 29syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) -> E. i e. X ( F ` i ) = a )
3127, 30r19.29a 2614 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) -> ( a .+^ b ) e. Y )
32 simpll 525 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ c e. Y ) -> ph )
33 simplrl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ c e. Y ) -> a e. Y )
34 simplrr 532 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ c e. Y ) -> b e. Y )
35 simpr 109 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ c e. Y ) -> c e. Y )
3614ad2antrr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) -> G e. Mnd )
3736ad5antr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> G e. Mnd )
38 simp-6r 542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> i e. X )
39 simp-4r 538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> j e. X )
40 simplr 526 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> k e. X )
4116, 17mndass 12682 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Mnd /\ ( i e. X /\ j e. X /\ k e. X ) ) -> ( ( i .+ j ) .+ k ) = ( i .+ ( j .+ k ) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl13anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( i .+ j ) .+ k ) = ( i .+ ( j .+ k ) ) )
4342fveq2d 5503 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` ( ( i .+ j ) .+ k ) ) = ( F ` ( i .+ ( j .+ k ) ) ) )
44 simp-7l 543 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ph )
4544, 5syl3an1 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
4637, 38, 39, 18syl3anc 1234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( i .+ j ) e. X )
4745, 46, 40mhmlem 12829 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` ( ( i .+ j ) .+ k ) ) = ( ( F ` ( i .+ j ) ) .+^ ( F ` k ) ) )
4816, 17mndcl 12681 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Mnd /\ j e. X /\ k e. X ) -> ( j .+ k ) e. X )
4937, 39, 40, 48syl3anc 1234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( j .+ k ) e. X )
5045, 38, 49mhmlem 12829 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` ( i .+ ( j .+ k ) ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( j .+ k ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` ( i .+ j ) ) .+^ ( F ` k ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( j .+ k ) ) ) )
52 simp1 993 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X /\ j e. X ) -> ph )
5352, 5syl3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. X /\ j e. X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
54 simp2 994 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X /\ j e. X ) -> i e. X )
55 simp3 995 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X /\ j e. X ) -> j e. X )
5653, 54, 55mhmlem 12829 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X /\ j e. X ) -> ( F ` ( i .+ j ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) )
5744, 38, 39, 56syl3anc 1234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` ( i .+ j ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) )
5857oveq1d 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` ( i .+ j ) ) .+^ ( F ` k ) ) = ( ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) .+^ ( F ` k ) ) )
5945, 39, 40mhmlem 12829 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` ( j .+ k ) ) = ( ( F ` j ) .+^ ( F ` k ) ) )
6059oveq2d 5873 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( j .+ k ) ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( ( F ` j ) .+^ ( F ` k ) ) ) )
6151, 58, 603eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) .+^ ( F ` k ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( ( F ` j ) .+^ ( F ` k ) ) ) )
62 simp-5r 540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` i ) = a )
63 simpllr 530 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` j ) = b )
6462, 63oveq12d 5875 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) = ( a .+^ b ) )
65 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( F ` k ) = c )
6664, 65oveq12d 5875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( ( F ` i ) .+^ ( F ` j ) ) .+^ ( F ` k ) ) = ( ( a .+^ b ) .+^ c ) )
6763, 65oveq12d 5875 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` j ) .+^ ( F ` k ) ) = ( b .+^ c ) )
6862, 67oveq12d 5875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( ( F ` j ) .+^ ( F ` k ) ) ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
6961, 66, 683eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) /\ k e. X ) /\ ( F ` k ) = c ) -> ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
70 foelrni 5552 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ c e. Y ) -> E. k e. X ( F ` k ) = c )
7110, 70sylan 281 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. Y ) -> E. k e. X ( F ` k ) = c )
72713ad2antr3 1160 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) -> E. k e. X ( F ` k ) = c )
7372ad4antr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> E. k e. X ( F ` k ) = c )
7469, 73r19.29a 2614 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ j e. X ) /\ ( F ` j ) = b ) -> ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
75253adantr3 1154 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) -> E. j e. X ( F ` j ) = b )
7675ad2antrr 486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> E. j e. X ( F ` j ) = b )
7774, 76r19.29a 2614 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
78303adantr3 1154 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) -> E. i e. X ( F ` i ) = a )
7977, 78r19.29a 2614 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y /\ c e. Y ) ) -> ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
8032, 33, 34, 35, 79syl13anc 1236 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) /\ c e. Y ) -> ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
8180ralrimiva 2544 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) -> A. c e. Y ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) )
8231, 81jca 304 . . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. Y /\ b e. Y ) ) -> ( ( a .+^ b ) e. Y /\ A. c e. Y ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) ) )
8382ralrimivva 2553 . 2 |- ( ph -> A. a e. Y A. b e. Y ( ( a .+^ b ) e. Y /\ A. c e. Y ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) ) )
84 eqid 2171 . . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8516, 84mndidcl 12688 . . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. X )
8614, 85syl 14 . . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. X )
8712, 86ffvelrnd 5636 . . 3 |- ( ph -> ( F ` ( 0g ` G ) ) e. Y )
88 simplll 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ph )
8988, 5syl3an1 1267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
9014ad3antrrr 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> G e. Mnd )
9190, 85syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( 0g ` G ) e. X )
92 simplr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> i e. X )
9389, 91, 92mhmlem 12829 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( F ` ( ( 0g ` G ) .+ i ) ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ ( F ` i ) ) )
9416, 17, 84mndlid 12693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ i e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ i ) = i )
9590, 92, 94syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ i ) = i )
9695fveq2d 5503 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( F ` ( ( 0g ` G ) .+ i ) ) = ( F ` i ) )
9793, 96eqtr3d 2206 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ ( F ` i ) ) = ( F ` i ) )
98 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( F ` i ) = a )
9998oveq2d 5873 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ ( F ` i ) ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) )
10097, 99, 983eqtr3d 2212 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a )
10189, 92, 91mhmlem 12829 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( F ` ( i .+ ( 0g ` G ) ) ) = ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) )
10216, 17, 84mndrid 12694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ i e. X ) -> ( i .+ ( 0g ` G ) ) = i )
10390, 92, 102syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( i .+ ( 0g ` G ) ) = i )
104103fveq2d 5503 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( F ` ( i .+ ( 0g ` G ) ) ) = ( F ` i ) )
105101, 104eqtr3d 2206 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = ( F ` i ) )
10698oveq1d 5872 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( F ` i ) .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) )
107105, 106, 983eqtr3d 2212 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a )
108100, 107jca 304 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. Y ) /\ i e. X ) /\ ( F ` i ) = a ) -> ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a /\ ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a ) )
10910, 29sylan 281 . . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. Y ) -> E. i e. X ( F ` i ) = a )
110108, 109r19.29a 2614 . . . 4 |- ( ( ph /\ a e. Y ) -> ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a /\ ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a ) )
111110ralrimiva 2544 . . 3 |- ( ph -> A. a e. Y ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a /\ ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a ) )
112 oveq1 5864 . . . . . 6 |- ( d = ( F ` ( 0g ` G ) ) -> ( d .+^ a ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) )
113112eqeq1d 2180 . . . . 5 |- ( d = ( F ` ( 0g ` G ) ) -> ( ( d .+^ a ) = a <-> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a ) )
114113ovanraleqv 5881 . . . 4 |- ( d = ( F ` ( 0g ` G ) ) -> ( A. a e. Y ( ( d .+^ a ) = a /\ ( a .+^ d ) = a ) <-> A. a e. Y ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a /\ ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a ) ) )
115114rspcev 2835 . . 3 |- ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) e. Y /\ A. a e. Y ( ( ( F ` ( 0g ` G ) ) .+^ a ) = a /\ ( a .+^ ( F ` ( 0g ` G ) ) ) = a ) ) -> E. d e. Y A. a e. Y ( ( d .+^ a ) = a /\ ( a .+^ d ) = a ) )
11687, 111, 115syl2anc 409 . 2 |- ( ph -> E. d e. Y A. a e. Y ( ( d .+^ a ) = a /\ ( a .+^ d ) = a ) )
117 ghmgrp.y . . 3 |- Y = ( Base ` H )
118 ghmgrp.q . . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
119117, 118ismnd 12677 . 2 |- ( H e. Mnd <-> ( A. a e. Y A. b e. Y ( ( a .+^ b ) e. Y /\ A. c e. Y ( ( a .+^ b ) .+^ c ) = ( a .+^ ( b .+^ c ) ) ) /\ E. d e. Y A. a e. Y ( ( d .+^ a ) = a /\ ( a .+^ d ) = a ) ) )
12083, 116, 119sylanbrc 415 1 |- ( ph -> H e. Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   E.wrex 2450   -->wf 5196   -onto->wfo 5198   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   Basecbs 12420   +g cplusg 12484   0gc0g 12618   Mndcmnd 12674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1re 7872  ax-addrcl 7875
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fo 5206  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-inn 8883  df-2 8941  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675
This theorem is referenced by:  mhmfmhm  12832  ghmgrp  12833
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