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Theorem tfrcllemsucaccv 6372
Description: Lemma for tfrcl 6382. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemsucaccv.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
tfrcllemsucaccv.zy  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
tfrcllemsucaccv.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllemsucaccv.gfn  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
tfrcllemsucaccv.gacc  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, G, x, y    S, f, x    f, X, x    f, g, x, y    ph, f, x, y   
z, f, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, y, z, f, g)    S( y, z, g)    F( x, y, z, f, g)    G( z, g)    X( y, z, g)    Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucaccv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4416 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
21eleq1d 2257 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  x  e.  X  <->  suc  z  e.  X ) )
3 tfrcllemsucaccv.u . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
43ralrimiva 2562 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X
)
5 tfrcllemsucaccv.zy . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
6 tfrcllemsucaccv.yx . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
7 elunii 3828 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  U. X
)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  U. X
)
92, 4, 8rspcdva 2860 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  X
)
10 tfrcl.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
11 tfrcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
12 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
13 tfrcl.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
14 tfrcllemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
155, 6jca 306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X
) )
16 ordtr1 4402 . . . . 5  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1712, 15, 16sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
18 tfrcllemsucaccv.gfn . . . 4  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
19 tfrcllemsucaccv.gacc . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
2010, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19tfrcllemsucfn 6371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : suc  z
--> S )
21 vex 2754 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2221elsuc 4420 . . . . 5  |-  ( y  e.  suc  z  <->  ( y  e.  z  \/  y  =  z ) )
23 vex 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
24 feq1 5362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : x --> S  <->  g :
x --> S ) )
25 fveq1 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
26 reseq1 4915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
2726fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
2825, 27eqeq12d 2203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
2928ralbidv 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
3130rexbidv 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
3223, 31, 14elab2 2899 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
3319, 32sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
34 simprrr 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
35 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g :
x --> S )
36 ffn 5379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : x --> S  -> 
g  Fn  x )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g  Fn  x )
3818adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g :
z --> S )
39 ffn 5379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : z --> S  -> 
g  Fn  z )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
41 fndmu 5331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  x  /\  g  Fn  z )  ->  x  =  z )
4237, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  x  =  z )
4342raleqdv 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  x  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) )  <->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
4434, 43mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
4533, 44rexlimddv 2611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) ) )
4645r19.21bi 2577 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) )
47 ordelon 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  X  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  On )
4812, 17, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
49 onelon 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  On  /\  y  e.  z )  ->  y  e.  On )
5048, 49sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  y  e.  On )
51 eloni 4389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
52 ordirr 4555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
5350, 51, 523syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  -.  y  e.  y )
54 elequ2 2164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
5554biimpcd 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  z  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  y ) )
5655adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  y ) )
5753, 56mtod 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  -.  z  =  y )
5857neqned 2366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  z  =/=  y )
59 fvunsng 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  =/=  y )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  y
)  =  ( g `
 y ) )
6021, 58, 59sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( g `
 y ) )
61 eloni 4389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
6248, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
63 ordelss 4393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  y  e.  z )  ->  y  C_  z )
6462, 63sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  y  C_  z )
65 resabs1 4950 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
6718, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
68 ordirr 4555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  z  ->  -.  z  e.  z )
6962, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  z )
70 fsnunres 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
7167, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
7271reseq1d 4920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  |`  y
)  =  ( g  |`  y ) )
7372adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
7466, 73eqtr3d 2223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  ( g  |`  y ) )
7574fveq2d 5533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
7646, 60, 753eqtr4d 2231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
77 feq2 5363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
7877imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
7978albidv 1834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
80133expia 1206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
8180alrimiv 1884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
8281ralrimiva 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
8379, 82, 17rspcdva 2860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f ( f : z --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
84 feq1 5362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
85 fveq2 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
8685eleq1d 2257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
8784, 86imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
8887spv 1870 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
8983, 18, 88sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  g
)  e.  S )
90 fndm 5329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
9167, 90syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
9269, 91neleqtrrd 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
93 fsnunfv 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  /\  ( G `  g )  e.  S  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( G `  g
) )
945, 89, 92, 93syl3anc 1248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
9594adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
96 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
9796fveq2d 5533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z ) )
98 reseq2 4916 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z ) )
9998, 71sylan9eqr 2243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  g )
10099fveq2d 5533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  =  ( G `  g
) )
10195, 97, 1003eqtr4d 2231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
10276, 101jaodan 798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  z  \/  y  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
10322, 102sylan2b 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
104103ralrimiva 2562 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
105 feq2 5363 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S ) )
106 raleq 2685 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. y  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) )  <->  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
107105, 106anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
108107rspcev 2855 . . . 4  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
109 feq2 5363 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : w --> S  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S ) )
110 raleq 2685 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( A. y  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
111109, 110anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )  <->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) ) ) )
112111cbvrexv 2718 . . . 4  |-  ( E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )  <->  E. x  e.  X  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) ) )
113108, 112sylib 122 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
1149, 20, 104, 113syl12anc 1246 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
115 vex 2754 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
116 opexg 4242 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
117115, 89, 116sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
118 snexg 4198 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
119117, 118syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  e.  _V )
120 unexg 4457 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
12123, 119, 120sylancr 414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
122 feq1 5362 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f : x --> S  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S ) )
123 fveq1 5528 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f `  y )  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y ) )
124 reseq1 4915 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
125124fveq2d 5533 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
126123, 125eqeq12d 2203 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
127126ralbidv 2489 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
128122, 127anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
129128rexbidv 2490 . . . 4  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
130129, 14elab2g 2898 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
131121, 130syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
132114, 131mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 979   A.wal 1361    = wceq 1363    e. wcel 2159   {cab 2174    =/= wne 2359   A.wral 2467   E.wrex 2468   _Vcvv 2751    u. cun 3141    C_ wss 3143   {csn 3606   <.cop 3609   U.cuni 3823   Ord word 4376   Oncon0 4377   suc csuc 4379   dom cdm 4640    |` cres 4642   Fun wfun 5224    Fn wfn 5225   -->wf 5226   ` cfv 5230  recscrecs 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238
This theorem is referenced by:  tfrcllembacc  6373  tfrcllemres  6380
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