Theorem tfrcllemsucaccv 6205

Description: Lemma for tfrcl 6215. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemsucaccv.yx	|- ( ph -> Y e. X )
tfrcllemsucaccv.zy	|- ( ph -> z e. Y )
tfrcllemsucaccv.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemsucaccv.gfn	|- ( ph -> g : z --> S )
tfrcllemsucaccv.gacc	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   S, f, x   f, X, x   f, g, x, y   ph, f, x, y   z, f, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g)   A( x, y, z, f, g)   S( y, z, g)   F( x, y, z, f, g)   G( z, g)   X( y, z, g)   Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucaccv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4284	. . . . 5 |- ( x = z -> suc x = suc z )
2	1	eleq1d 2183	. . . 4 |- ( x = z -> ( suc x e. X <-> suc z e. X ) )
3		tfrcllemsucaccv.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
4	3	ralrimiva 2479	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
5		tfrcllemsucaccv.zy	. . . . 5 |- ( ph -> z e. Y )
6		tfrcllemsucaccv.yx	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
7		elunii 3707	. . . . 5 |- ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. U. X )
8	5, 6, 7	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ph -> z e. U. X )
9	2, 4, 8	rspcdva 2765	. . 3 |- ( ph -> suc z e. X )
10		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
11		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
12		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
13		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
14		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	5, 6	jca 302	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
16		ordtr1 4270	. . . . 5 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
17	12, 15, 16	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
18		tfrcllemsucaccv.gfn	. . . 4 |- ( ph -> g : z --> S )
19		tfrcllemsucaccv.gacc	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
20	10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19	tfrcllemsucfn 6204	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
21		vex 2660	. . . . . 6 |- y e. _V
22	21	elsuc 4288	. . . . 5 |- ( y e. suc z <-> ( y e. z \/ y = z ) )
23		vex 2660	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
24		feq1 5213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
25		fveq1 5374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
26		reseq1 4771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
27	26	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
29	28	ralbidv 2411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
30	24, 29	anbi12d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
31	30	rexbidv 2412	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
32	23, 31, 14	elab2 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
33	19, 32	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
34		simprrr 512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
35		simprrl 511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : x --> S )
36		ffn 5230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : x --> S -> g Fn x )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn x )
38	18	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : z --> S )
39		ffn 5230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : z --> S -> g Fn z )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn z )
41		fndmu 5182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn x /\ g Fn z ) -> x = z )
42	37, 40, 41	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> x = z )
43	42	raleqdv 2606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	34, 43	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
45	33, 44	rexlimddv 2528	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
46	45	r19.21bi 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
47		ordelon 4265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
48	12, 17, 47	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> z e. On )
49		onelon 4266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. On /\ y e. z ) -> y e. On )
50	48, 49	sylan 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y e. On )
51		eloni 4257	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> Ord y )
52		ordirr 4417	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord y -> -. y e. y )
53	50, 51, 52	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. y e. y )
54		elequ2 1674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
55	54	biimpcd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. z -> ( z = y -> y e. y ) )
56	55	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( z = y -> y e. y ) )
57	53, 56	mtod 635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. z = y )
58	57	neqned 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> z =/= y )
59		fvunsng 5568	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ z =/= y ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
60	21, 58, 59	sylancr 408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
61		eloni 4257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
62	48, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
63		ordelss 4261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ y e. z ) -> y C_ z )
64	62, 63	sylan 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y C_ z )
65		resabs1 4806	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
67	18, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> g Fn z )
68		ordirr 4417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord z -> -. z e. z )
69	62, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. z )
70		fsnunres 5576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
71	67, 69, 70	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
72	71	reseq1d 4776	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
73	72	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
74	66, 73	eqtr3d 2149	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( g |` y ) )
75	74	fveq2d 5379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
76	46, 60, 75	3eqtr4d 2157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
77		feq2 5214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
78	77	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
79	78	albidv 1778	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
80	13	3expia 1166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
81	80	alrimiv 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
82	81	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
83	79, 82, 17	rspcdva 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
84		feq1 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
85		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
86	85	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
87	84, 86	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
88	87	spv 1814	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
89	83, 18, 88	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` g ) e. S )
90		fndm 5180	. . . . . . . . . . 11 |- ( g Fn z -> dom g = z )
91	67, 90	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom g = z )
92	69, 91	neleqtrrd 2213	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
93		fsnunfv 5575	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y /\ ( G ` g ) e. S /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
94	5, 89, 92, 93	syl3anc 1199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
95	94	adantr 272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
96		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> y = z )
97	96	fveq2d 5379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) )
98		reseq2 4772	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) )
99	98, 71	sylan9eqr 2169	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = g )
100	99	fveq2d 5379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` g ) )
101	95, 97, 100	3eqtr4d 2157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
102	76, 101	jaodan 769	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. z \/ y = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
103	22, 102	sylan2b 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
104	103	ralrimiva 2479	. . 3 |- ( ph -> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
105		feq2 5214	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S ) )
106		raleq 2600	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
107	105, 106	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
108	107	rspcev 2760	. . . 4 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
109		feq2 5214	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
110		raleq 2600	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
111	109, 110	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
112	111	cbvrexv 2629	. . . 4 |- ( E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
113	108, 112	sylib 121	. . 3 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
114	9, 20, 104, 113	syl12anc 1197	. 2 |- ( ph -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
115		vex 2660	. . . . . 6 |- z e. _V
116		opexg 4110	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
117	115, 89, 116	sylancr 408	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
118		snexg 4068	. . . . 5 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
119	117, 118	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
120		unexg 4324	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
121	23, 119, 120	sylancr 408	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
122		feq1 5213	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f : x --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
123		fveq1 5374	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) )
124		reseq1 4771	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
125	124	fveq2d 5379	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
126	123, 125	eqeq12d 2129	. . . . . . 7 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
127	126	ralbidv 2411	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
128	122, 127	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
129	128	rexbidv 2412	. . . 4 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
130	129, 14	elab2g 2800	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
131	121, 130	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
132	114, 131	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   /\ w3a 945   A.wal 1312   = wceq 1314   e. wcel 1463   {cab 2101   =/= wne 2282   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   u. cun 3035   C_ wss 3037   {csn 3493   <.cop 3496   U.cuni 3702   Ord word 4244   Oncon0 4245   suc csuc 4247   dom cdm 4499   |` cres 4501   Fun wfun 5075   Fn wfn 5076   -->wf 5077   ` cfv 5081  recscrecs 6155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089

This theorem is referenced by:  tfrcllembacc  6206  tfrcllemres  6213