Theorem tfrcllemsucaccv 6372

Description: Lemma for tfrcl 6382. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemsucaccv.yx	|- ( ph -> Y e. X )
tfrcllemsucaccv.zy	|- ( ph -> z e. Y )
tfrcllemsucaccv.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemsucaccv.gfn	|- ( ph -> g : z --> S )
tfrcllemsucaccv.gacc	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   S, f, x   f, X, x   f, g, x, y   ph, f, x, y   z, f, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g)   A( x, y, z, f, g)   S( y, z, g)   F( x, y, z, f, g)   G( z, g)   X( y, z, g)   Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucaccv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4416	. . . . 5 |- ( x = z -> suc x = suc z )
2	1	eleq1d 2257	. . . 4 |- ( x = z -> ( suc x e. X <-> suc z e. X ) )
3		tfrcllemsucaccv.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
4	3	ralrimiva 2562	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
5		tfrcllemsucaccv.zy	. . . . 5 |- ( ph -> z e. Y )
6		tfrcllemsucaccv.yx	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
7		elunii 3828	. . . . 5 |- ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. U. X )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> z e. U. X )
9	2, 4, 8	rspcdva 2860	. . 3 |- ( ph -> suc z e. X )
10		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
11		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
12		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
13		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
14		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	5, 6	jca 306	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
16		ordtr1 4402	. . . . 5 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
17	12, 15, 16	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
18		tfrcllemsucaccv.gfn	. . . 4 |- ( ph -> g : z --> S )
19		tfrcllemsucaccv.gacc	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
20	10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19	tfrcllemsucfn 6371	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
21		vex 2754	. . . . . 6 |- y e. _V
22	21	elsuc 4420	. . . . 5 |- ( y e. suc z <-> ( y e. z \/ y = z ) )
23		vex 2754	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
24		feq1 5362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
25		fveq1 5528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
26		reseq1 4915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
27	26	fveq2d 5533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
29	28	ralbidv 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
30	24, 29	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
31	30	rexbidv 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
32	23, 31, 14	elab2 2899	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
33	19, 32	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
34		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
35		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : x --> S )
36		ffn 5379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : x --> S -> g Fn x )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn x )
38	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : z --> S )
39		ffn 5379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : z --> S -> g Fn z )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn z )
41		fndmu 5331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn x /\ g Fn z ) -> x = z )
42	37, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> x = z )
43	42	raleqdv 2691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	34, 43	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
45	33, 44	rexlimddv 2611	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
46	45	r19.21bi 2577	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
47		ordelon 4397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
48	12, 17, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> z e. On )
49		onelon 4398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. On /\ y e. z ) -> y e. On )
50	48, 49	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y e. On )
51		eloni 4389	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> Ord y )
52		ordirr 4555	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord y -> -. y e. y )
53	50, 51, 52	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. y e. y )
54		elequ2 2164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
55	54	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. z -> ( z = y -> y e. y ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( z = y -> y e. y ) )
57	53, 56	mtod 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. z = y )
58	57	neqned 2366	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> z =/= y )
59		fvunsng 5725	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ z =/= y ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
60	21, 58, 59	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
61		eloni 4389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
62	48, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
63		ordelss 4393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ y e. z ) -> y C_ z )
64	62, 63	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y C_ z )
65		resabs1 4950	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
67	18, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> g Fn z )
68		ordirr 4555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord z -> -. z e. z )
69	62, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. z )
70		fsnunres 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
72	71	reseq1d 4920	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
73	72	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
74	66, 73	eqtr3d 2223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( g |` y ) )
75	74	fveq2d 5533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
76	46, 60, 75	3eqtr4d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
77		feq2 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
78	77	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
79	78	albidv 1834	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
80	13	3expia 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
81	80	alrimiv 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
82	81	ralrimiva 2562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
83	79, 82, 17	rspcdva 2860	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
84		feq1 5362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
85		fveq2 5529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
86	85	eleq1d 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
87	84, 86	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
88	87	spv 1870	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
89	83, 18, 88	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` g ) e. S )
90		fndm 5329	. . . . . . . . . . 11 |- ( g Fn z -> dom g = z )
91	67, 90	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom g = z )
92	69, 91	neleqtrrd 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
93		fsnunfv 5732	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y /\ ( G ` g ) e. S /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
94	5, 89, 92, 93	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
95	94	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
96		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> y = z )
97	96	fveq2d 5533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) )
98		reseq2 4916	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) )
99	98, 71	sylan9eqr 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = g )
100	99	fveq2d 5533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` g ) )
101	95, 97, 100	3eqtr4d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
102	76, 101	jaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. z \/ y = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
103	22, 102	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
104	103	ralrimiva 2562	. . 3 |- ( ph -> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
105		feq2 5363	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S ) )
106		raleq 2685	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
107	105, 106	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
108	107	rspcev 2855	. . . 4 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
109		feq2 5363	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
110		raleq 2685	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
111	109, 110	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
112	111	cbvrexv 2718	. . . 4 |- ( E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
113	108, 112	sylib 122	. . 3 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
114	9, 20, 104, 113	syl12anc 1246	. 2 |- ( ph -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
115		vex 2754	. . . . . 6 |- z e. _V
116		opexg 4242	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
117	115, 89, 116	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
118		snexg 4198	. . . . 5 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
119	117, 118	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
120		unexg 4457	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
121	23, 119, 120	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
122		feq1 5362	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f : x --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
123		fveq1 5528	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) )
124		reseq1 4915	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
125	124	fveq2d 5533	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
126	123, 125	eqeq12d 2203	. . . . . . 7 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
127	126	ralbidv 2489	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
128	122, 127	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
129	128	rexbidv 2490	. . . 4 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
130	129, 14	elab2g 2898	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
131	121, 130	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
132	114, 131	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 979   A.wal 1361   = wceq 1363   e. wcel 2159   {cab 2174   =/= wne 2359   A.wral 2467   E.wrex 2468   _Vcvv 2751   u. cun 3141   C_ wss 3143   {csn 3606   <.cop 3609   U.cuni 3823   Ord word 4376   Oncon0 4377   suc csuc 4379   dom cdm 4640   |` cres 4642   Fun wfun 5224   Fn wfn 5225   -->wf 5226   ` cfv 5230  recscrecs 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238

This theorem is referenced by:  tfrcllembacc  6373  tfrcllemres  6380