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Theorem tfrcllemsucaccv 6073
Description: Lemma for tfrcl 6083. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemsucaccv.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
tfrcllemsucaccv.zy  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
tfrcllemsucaccv.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllemsucaccv.gfn  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
tfrcllemsucaccv.gacc  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, G, x, y    S, f, x    f, X, x    f, g, x, y    ph, f, x, y   
z, f, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, y, z, f, g)    S( y, z, g)    F( x, y, z, f, g)    G( z, g)    X( y, z, g)    Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucaccv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4203 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
21eleq1d 2153 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  x  e.  X  <->  suc  z  e.  X ) )
3 tfrcllemsucaccv.u . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
43ralrimiva 2442 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X
)
5 tfrcllemsucaccv.zy . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
6 tfrcllemsucaccv.yx . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
7 elunii 3641 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  U. X
)
85, 6, 7syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  U. X
)
92, 4, 8rspcdva 2720 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  X
)
10 tfrcl.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
11 tfrcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
12 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
13 tfrcl.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
14 tfrcllemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
155, 6jca 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X
) )
16 ordtr1 4189 . . . . 5  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1712, 15, 16sylc 61 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
18 tfrcllemsucaccv.gfn . . . 4  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
19 tfrcllemsucaccv.gacc . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
2010, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19tfrcllemsucfn 6072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : suc  z
--> S )
21 vex 2618 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2221elsuc 4207 . . . . 5  |-  ( y  e.  suc  z  <->  ( y  e.  z  \/  y  =  z ) )
23 vex 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
24 feq1 5110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : x --> S  <->  g :
x --> S ) )
25 fveq1 5267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
26 reseq1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
2726fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
2825, 27eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
2928ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
3130rexbidv 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
3223, 31, 14elab2 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
3319, 32sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
34 simprrr 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
35 simprrl 506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g :
x --> S )
36 ffn 5126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : x --> S  -> 
g  Fn  x )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g  Fn  x )
3818adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g :
z --> S )
39 ffn 5126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : z --> S  -> 
g  Fn  z )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
41 fndmu 5080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  x  /\  g  Fn  z )  ->  x  =  z )
4237, 40, 41syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  x  =  z )
4342raleqdv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  x  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) )  <->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
4434, 43mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) ) )  ->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
4533, 44rexlimddv 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) ) )
4645r19.21bi 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) )
47 ordelon 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  X  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  On )
4812, 17, 47syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
49 onelon 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  On  /\  y  e.  z )  ->  y  e.  On )
5048, 49sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  y  e.  On )
51 eloni 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
52 ordirr 4331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
5350, 51, 523syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  -.  y  e.  y )
54 elequ2 1645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
5554biimpcd 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  z  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  y ) )
5655adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
z  =  y  -> 
y  e.  y ) )
5753, 56mtod 622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  -.  z  =  y )
5857neqned 2258 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  z  =/=  y )
59 fvunsng 5454 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  =/=  y )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  y
)  =  ( g `
 y ) )
6021, 58, 59sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( g `
 y ) )
61 eloni 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
6248, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
63 ordelss 4180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  y  e.  z )  ->  y  C_  z )
6462, 63sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  y  C_  z )
65 resabs1 4709 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
6718, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
68 ordirr 4331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  z  ->  -.  z  e.  z )
6962, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  z )
70 fsnunres 5461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
7167, 69, 70syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
7271reseq1d 4680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  |`  y
)  =  ( g  |`  y ) )
7372adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
7466, 73eqtr3d 2119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  ( g  |`  y ) )
7574fveq2d 5272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
7646, 60, 753eqtr4d 2127 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
77 feq2 5111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
7877imbi1d 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
7978albidv 1749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
80133expia 1143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
8180alrimiv 1799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
8281ralrimiva 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
8379, 82, 17rspcdva 2720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f ( f : z --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
84 feq1 5110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
85 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
8685eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
8784, 86imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
8887spv 1785 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
8983, 18, 88sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  g
)  e.  S )
90 fndm 5078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
9167, 90syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
9269, 91neleqtrrd 2183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
93 fsnunfv 5460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  /\  ( G `  g )  e.  S  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( G `  g
) )
945, 89, 92, 93syl3anc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
9594adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
96 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  y  =  z )
9796fveq2d 5272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z ) )
98 reseq2 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z ) )
9998, 71sylan9eqr 2139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
)  =  g )
10099fveq2d 5272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  =  ( G `  g
) )
10195, 97, 1003eqtr4d 2127 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
10276, 101jaodan 744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  z  \/  y  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
10322, 102sylan2b 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )
104103ralrimiva 2442 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
105 feq2 5111 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S ) )
106 raleq 2558 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. y  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) )  <->  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
107105, 106anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
108107rspcev 2715 . . . 4  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
109 feq2 5111 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : w --> S  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S ) )
110 raleq 2558 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( A. y  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
111109, 110anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )  <->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) ) ) )
112111cbvrexv 2587 . . . 4  |-  ( E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : w --> S  /\  A. y  e.  w  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )  <->  E. x  e.  X  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  y
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  y ) ) ) )
113108, 112sylib 120 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> S  /\  A. y  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
1149, 20, 104, 113syl12anc 1170 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
115 vex 2618 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
116 opexg 4029 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
117115, 89, 116sylancr 405 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
118 snexg 3993 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
119117, 118syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  e.  _V )
120 unexg 4242 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
12123, 119, 120sylancr 405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
122 feq1 5110 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f : x --> S  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S ) )
123 fveq1 5267 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f `  y )  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y ) )
124 reseq1 4675 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
f  |`  y )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  y
) )
125124fveq2d 5272 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) )
126123, 125eqeq12d 2099 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
127126ralbidv 2376 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) )
128122, 127anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
129128rexbidv 2377 . . . 4  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
130129, 14elab2g 2753 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
131121, 130syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 y )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  y
) ) ) ) )
132114, 131mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   {cab 2071    =/= wne 2251   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986    C_ wss 2988   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   Ord word 4163   Oncon0 4164   suc csuc 4166   dom cdm 4411    |` cres 4413   Fun wfun 4975    Fn wfn 4976   -->wf 4977   ` cfv 4981  recscrecs 6023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989
This theorem is referenced by:  tfrcllembacc  6074  tfrcllemres  6081
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