Theorem tfr1onlemsucaccv 6356

Description: Lemma for tfr1on 6365. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlemsucaccv.yx	|- ( ph -> Y e. X )
tfr1onlemsucaccv.zy	|- ( ph -> z e. Y )
tfr1onlemsucaccv.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlemsucaccv.gfn	|- ( ph -> g Fn z )
tfr1onlemsucaccv.gacc	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlemsucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   f, X, x   f, g, x, y   ph, f, x   z, f, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, z, g)   A( x, y, z, f, g)   F( x, y, z, f, g)   G( z, g)   X( y, z, g)   Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfr1onlemsucaccv

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4414	. . . . 5 |- ( x = z -> suc x = suc z )
2	1	eleq1d 2256	. . . 4 |- ( x = z -> ( suc x e. X <-> suc z e. X ) )
3		tfr1onlemsucaccv.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
4	3	ralrimiva 2560	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
5		tfr1onlemsucaccv.zy	. . . . 5 |- ( ph -> z e. Y )
6		tfr1onlemsucaccv.yx	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
7		elunii 3826	. . . . 5 |- ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. U. X )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> z e. U. X )
9	2, 4, 8	rspcdva 2858	. . 3 |- ( ph -> suc z e. X )
10		tfr1on.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
11		tfr1on.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
12		tfr1on.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
13		tfr1on.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
14		tfr1onlemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	5, 6	jca 306	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
16		ordtr1 4400	. . . . 5 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
17	12, 15, 16	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
18		tfr1onlemsucaccv.gfn	. . . 4 |- ( ph -> g Fn z )
19		tfr1onlemsucaccv.gacc	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
20	10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19	tfr1onlemsucfn 6355	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
21		vex 2752	. . . . . 6 |- u e. _V
22	21	elsuc 4418	. . . . 5 |- ( u e. suc z <-> ( u e. z \/ u = z ) )
23		vex 2752	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
24	14	tfr1onlem3ag 6352	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
26	19, 25	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
27		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
28		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn v )
29	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn z )
30		fndmu 5329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn v /\ g Fn z ) -> v = z )
31	28, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> v = z )
32	31	raleqdv 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
33	27, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
34	26, 33	rexlimddv 2609	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
35	34	r19.21bi 2575	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
36		ordelon 4395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
37	12, 17, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> z e. On )
38		onelon 4396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. On /\ u e. z ) -> u e. On )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u e. On )
40		eloni 4387	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. On -> Ord u )
41		ordirr 4553	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord u -> -. u e. u )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> -. u e. u )
43		elequ2 2163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( u e. z <-> u e. u ) )
44	43	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. z -> ( z = u -> u e. u ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( z = u -> u e. u ) )
46	42, 45	mtod 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> -. z = u )
47	46	neqned 2364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> z =/= u )
48		fvunsng 5723	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ z =/= u ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
49	21, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
50		eloni 4387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
51	37, 50	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
52		ordelss 4391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ u e. z ) -> u C_ z )
53	51, 52	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u C_ z )
54		resabs1 4948	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) )
56		ordirr 4553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord z -> -. z e. z )
57	51, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. z )
58		fsnunres 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
59	18, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
60	59	reseq1d 4918	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
62	55, 61	eqtr3d 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = ( g |` u ) )
63	62	fveq2d 5531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
64	35, 49, 63	3eqtr4d 2230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
65		fneq2 5317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
66	65	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
67	66	albidv 1834	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
68	13	3expia 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
69	68	alrimiv 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
70	69	ralrimiva 2560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
71	67, 70, 17	rspcdva 2858	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
72		fneq1 5316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
73		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
74	73	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
75	72, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
76	75	spv 1870	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
77	71, 18, 76	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` g ) e. _V )
78		fndm 5327	. . . . . . . . . . 11 |- ( g Fn z -> dom g = z )
79	18, 78	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom g = z )
80	57, 79	neleqtrrd 2286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
81		fsnunfv 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y /\ ( G ` g ) e. _V /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
82	5, 77, 80, 81	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
84		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> u = z )
85	84	fveq2d 5531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) )
86		reseq2 4914	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) )
87	86, 59	sylan9eqr 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = g )
88	87	fveq2d 5531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( G ` g ) )
89	83, 85, 88	3eqtr4d 2230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
90	64, 89	jaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. z \/ u = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
91	22, 90	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
92	91	ralrimiva 2560	. . 3 |- ( ph -> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
93		fneq2 5317	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z ) )
94		raleq 2683	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) <-> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
95	93, 94	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
96	95	rspcev 2853	. . 3 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
97	9, 20, 92, 96	syl12anc 1246	. 2 |- ( ph -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
98		vex 2752	. . . . . 6 |- z e. _V
99		opexg 4240	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
100	98, 77, 99	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
101		snexg 4196	. . . . 5 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
102	100, 101	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
103		unexg 4455	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
104	23, 102, 103	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
105	14	tfr1onlem3ag 6352	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
106	104, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
107	97, 106	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 979   A.wal 1361   = wceq 1363   e. wcel 2158   {cab 2173   =/= wne 2357   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   u. cun 3139   C_ wss 3141   {csn 3604   <.cop 3607   U.cuni 3821   Ord word 4374   Oncon0 4375   suc csuc 4377   dom cdm 4638   |` cres 4640   Fun wfun 5222   Fn wfn 5223   ` cfv 5228  recscrecs 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  tfr1onlembacc  6357  tfr1onlemres  6364