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Theorem tfr1onlemsucaccv 6356
Description: Lemma for tfr1on 6365. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemsucaccv.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
tfr1onlemsucaccv.zy  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
tfr1onlemsucaccv.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfr1onlemsucaccv.gfn  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
tfr1onlemsucaccv.gacc  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemsucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, G, x, y    f, X, x   
f, g, x, y    ph, f, x    z, f, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, z, g)    A( x, y, z, f, g)    F( x, y, z, f, g)    G( z, g)    X( y, z, g)    Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfr1onlemsucaccv
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4414 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
21eleq1d 2256 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  x  e.  X  <->  suc  z  e.  X ) )
3 tfr1onlemsucaccv.u . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
43ralrimiva 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X
)
5 tfr1onlemsucaccv.zy . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
6 tfr1onlemsucaccv.yx . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
7 elunii 3826 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  U. X
)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  U. X
)
92, 4, 8rspcdva 2858 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  X
)
10 tfr1on.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
11 tfr1on.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
12 tfr1on.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
13 tfr1on.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
14 tfr1onlemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
155, 6jca 306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X
) )
16 ordtr1 4400 . . . . 5  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1712, 15, 16sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
18 tfr1onlemsucaccv.gfn . . . 4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
19 tfr1onlemsucaccv.gacc . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
2010, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19tfr1onlemsucfn 6355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  suc  z )
21 vex 2752 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
2221elsuc 4418 . . . . 5  |-  ( u  e.  suc  z  <->  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )
23 vex 2752 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
2414tfr1onlem3ag 6352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  A  <->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
2619, 25sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
27 simprrr 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )
28 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  v )
2918adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
30 fndmu 5329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  v  /\  g  Fn  z )  ->  v  =  z )
3128, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  v  =  z )
3231raleqdv 2689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3327, 32mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )
3426, 33rexlimddv 2609 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )
3534r19.21bi 2575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )
36 ordelon 4395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  X  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  On )
3712, 17, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
38 onelon 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  On  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  On )
3937, 38sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  On )
40 eloni 4387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  On  ->  Ord  u )
41 ordirr 4553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  u  ->  -.  u  e.  u )
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  -.  u  e.  u )
43 elequ2 2163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  u  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  u ) )
4443biimpcd 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  z  ->  (
z  =  u  ->  u  e.  u )
)
4544adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
z  =  u  ->  u  e.  u )
)
4642, 45mtod 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  -.  z  =  u )
4746neqned 2364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  z  =/=  u )
48 fvunsng 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  z  =/=  u )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
4921, 47, 48sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
50 eloni 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
5137, 50syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
52 ordelss 4391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
5351, 52sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
54 resabs1 4948 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  u
) )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  u
) )
56 ordirr 4553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  z  ->  -.  z  e.  z )
5751, 56syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  z )
58 fsnunres 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
5918, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
6059reseq1d 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
6255, 61eqtr3d 2222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
6362fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
6435, 49, 633eqtr4d 2230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
65 fneq2 5317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f  Fn  x  <->  f  Fn  z ) )
6665imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( f  Fn  z  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
) )
6766albidv 1834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) 
<-> 
A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V ) ) )
68133expia 1206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
6968alrimiv 1884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
7069ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) )
7167, 70, 17rspcdva 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V ) )
72 fneq1 5316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  z  <->  g  Fn  z ) )
73 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
7473eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  g )  e.  _V ) )
7572, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  z  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
7675spv 1870 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V )  ->  ( g  Fn  z  ->  ( G `  g )  e.  _V ) )
7771, 18, 76sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  g
)  e.  _V )
78 fndm 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
7918, 78syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
8057, 79neleqtrrd 2286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
81 fsnunfv 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  /\  ( G `  g )  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( G `  g
) )
825, 77, 80, 81syl3anc 1248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
8382adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
84 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  u  =  z )
8584fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z ) )
86 reseq2 4914 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z ) )
8786, 59sylan9eqr 2242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  g )
8887fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( G `  g
) )
8983, 85, 883eqtr4d 2230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
9064, 89jaodan 798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
9122, 90sylan2b 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
9291ralrimiva 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
93 fneq2 5317 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  Fn  suc  z ) )
94 raleq 2683 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. u  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) )  <->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )
9593, 94anbi12d 473 . . . 4  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) ) )
9695rspcev 2853 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
979, 20, 92, 96syl12anc 1246 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
98 vex 2752 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
99 opexg 4240 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
10098, 77, 99sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
101 snexg 4196 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
102100, 101syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  e.  _V )
103 unexg 4455 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
10423, 102, 103sylancr 414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
10514tfr1onlem3ag 6352 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
106104, 105syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
10797, 106mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 979   A.wal 1361    = wceq 1363    e. wcel 2158   {cab 2173    =/= wne 2357   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    u. cun 3139    C_ wss 3141   {csn 3604   <.cop 3607   U.cuni 3821   Ord word 4374   Oncon0 4375   suc csuc 4377   dom cdm 4638    |` cres 4640   Fun wfun 5222    Fn wfn 5223   ` cfv 5228  recscrecs 6319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236
This theorem is referenced by:  tfr1onlembacc  6357  tfr1onlemres  6364
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