Theorem tfr1onlemsucaccv 6336

Description: Lemma for tfr1on 6345. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlemsucaccv.yx	|- ( ph -> Y e. X )
tfr1onlemsucaccv.zy	|- ( ph -> z e. Y )
tfr1onlemsucaccv.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlemsucaccv.gfn	|- ( ph -> g Fn z )
tfr1onlemsucaccv.gacc	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlemsucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   f, X, x   f, g, x, y   ph, f, x   z, f, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, z, g)   A( x, y, z, f, g)   F( x, y, z, f, g)   G( z, g)   X( y, z, g)   Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfr1onlemsucaccv

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4399	. . . . 5 |- ( x = z -> suc x = suc z )
2	1	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = z -> ( suc x e. X <-> suc z e. X ) )
3		tfr1onlemsucaccv.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
4	3	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
5		tfr1onlemsucaccv.zy	. . . . 5 |- ( ph -> z e. Y )
6		tfr1onlemsucaccv.yx	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
7		elunii 3812	. . . . 5 |- ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. U. X )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> z e. U. X )
9	2, 4, 8	rspcdva 2846	. . 3 |- ( ph -> suc z e. X )
10		tfr1on.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
11		tfr1on.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
12		tfr1on.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
13		tfr1on.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
14		tfr1onlemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	5, 6	jca 306	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
16		ordtr1 4385	. . . . 5 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
17	12, 15, 16	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
18		tfr1onlemsucaccv.gfn	. . . 4 |- ( ph -> g Fn z )
19		tfr1onlemsucaccv.gacc	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
20	10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19	tfr1onlemsucfn 6335	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
21		vex 2740	. . . . . 6 |- u e. _V
22	21	elsuc 4403	. . . . 5 |- ( u e. suc z <-> ( u e. z \/ u = z ) )
23		vex 2740	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
24	14	tfr1onlem3ag 6332	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
26	19, 25	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. X ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
27		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
28		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn v )
29	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn z )
30		fndmu 5313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn v /\ g Fn z ) -> v = z )
31	28, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> v = z )
32	31	raleqdv 2678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
33	27, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
34	26, 33	rexlimddv 2599	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
35	34	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
36		ordelon 4380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
37	12, 17, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> z e. On )
38		onelon 4381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. On /\ u e. z ) -> u e. On )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u e. On )
40		eloni 4372	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. On -> Ord u )
41		ordirr 4538	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord u -> -. u e. u )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> -. u e. u )
43		elequ2 2153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( u e. z <-> u e. u ) )
44	43	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. z -> ( z = u -> u e. u ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( z = u -> u e. u ) )
46	42, 45	mtod 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> -. z = u )
47	46	neqned 2354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> z =/= u )
48		fvunsng 5706	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ z =/= u ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
49	21, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
50		eloni 4372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
51	37, 50	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
52		ordelss 4376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ u e. z ) -> u C_ z )
53	51, 52	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u C_ z )
54		resabs1 4932	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) )
56		ordirr 4538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord z -> -. z e. z )
57	51, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. z )
58		fsnunres 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
59	18, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
60	59	reseq1d 4902	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
62	55, 61	eqtr3d 2212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = ( g |` u ) )
63	62	fveq2d 5515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
64	35, 49, 63	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
65		fneq2 5301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
66	65	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
67	66	albidv 1824	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
68	13	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
69	68	alrimiv 1874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
70	69	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
71	67, 70, 17	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
72		fneq1 5300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
73		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
74	73	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
75	72, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
76	75	spv 1860	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
77	71, 18, 76	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` g ) e. _V )
78		fndm 5311	. . . . . . . . . . 11 |- ( g Fn z -> dom g = z )
79	18, 78	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom g = z )
80	57, 79	neleqtrrd 2276	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
81		fsnunfv 5713	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y /\ ( G ` g ) e. _V /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
82	5, 77, 80, 81	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
84		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> u = z )
85	84	fveq2d 5515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) )
86		reseq2 4898	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) )
87	86, 59	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) = g )
88	87	fveq2d 5515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( G ` g ) )
89	83, 85, 88	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
90	64, 89	jaodan 797	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. z \/ u = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
91	22, 90	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
92	91	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) )
93		fneq2 5301	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z ) )
94		raleq 2672	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) <-> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
95	93, 94	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
96	95	rspcev 2841	. . 3 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
97	9, 20, 92, 96	syl12anc 1236	. 2 |- ( ph -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
98		vex 2740	. . . . . 6 |- z e. _V
99		opexg 4225	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
100	98, 77, 99	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
101		snexg 4181	. . . . 5 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
102	100, 101	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
103		unexg 4440	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
104	23, 102, 103	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
105	14	tfr1onlem3ag 6332	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
106	104, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` u ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
107	97, 106	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   Ord word 4359   Oncon0 4360   suc csuc 4362   dom cdm 4623   |` cres 4625   Fun wfun 5206   Fn wfn 5207   ` cfv 5212  recscrecs 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  tfr1onlembacc  6337  tfr1onlemres  6344