Theorem fsnunres 5687

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = 𝐹)

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5297	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑆 → (𝐹 ↾ 𝑆) = 𝐹)
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑆) = 𝐹)
3		ressnop0 5666	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑆 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆) = ∅)
4	3	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆) = ∅)
5	2, 4	uneq12d 3277	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ↾ 𝑆) ∪ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆)) = (𝐹 ∪ ∅))
6		resundir 4898	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = ((𝐹 ↾ 𝑆) ∪ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆))
7		un0 3442	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ ∅) = 𝐹
8	7	eqcomi 2169	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝐹 ∪ ∅)
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2224	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  {csn 3576  ⟨cop 3579   ↾ cres 4606   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-dm 4614  df-res 4616  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6293  tfr1onlemsucaccv  6309  tfrcllemsucaccv  6322