Theorem fsnunres 5760

Description: Recover the original function from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunres	⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = 𝐹)

Proof of Theorem fsnunres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5363	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑆 → (𝐹 ↾ 𝑆) = 𝐹)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑆) = 𝐹)
3		ressnop0 5739	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ 𝑆 → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆) = ∅)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆) = ∅)
5	2, 4	uneq12d 3314	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ↾ 𝑆) ∪ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆)) = (𝐹 ∪ ∅))
6		resundir 4956	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = ((𝐹 ↾ 𝑆) ∪ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} ↾ 𝑆))
7		un0 3480	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ ∅) = 𝐹
8	7	eqcomi 2197	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝐹 ∪ ∅)
9	5, 6, 8	3eqtr4g 2251	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ↾ 𝑆) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151  ∅c0 3446  {csn 3618  ⟨cop 3621   ↾ cres 4661   Fn wfn 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-dm 4669  df-res 4671  df-fun 5256  df-fn 5257

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6378  tfr1onlemsucaccv  6394  tfrcllemsucaccv  6407