Theorem tfrlemisucaccv 6434

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 6441. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.3	. . . 4 |- ( ph -> z e. On )
2		onsuc 4567	. . . 4 |- ( z e. On -> suc z e. On )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> suc z e. On )
4		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
5		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
6		tfrlemisucfn.4	. . . 4 |- ( ph -> g Fn z )
7		tfrlemisucfn.5	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
8	4, 5, 1, 6, 7	tfrlemisucfn 6433	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
9		vex 2779	. . . . . 6 |- u e. _V
10	9	elsuc 4471	. . . . 5 |- ( u e. suc z <-> ( u e. z \/ u = z ) )
11		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
12	4, 11	tfrlem3a 6419	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
13	7, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
14		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
15		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn v )
16	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn z )
17		fndmu 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn v /\ g Fn z ) -> v = z )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> v = z )
19	18	raleqdv 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
21	13, 20	rexlimddv 2630	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
22	21	r19.21bi 2596	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
23		elirrv 4614	. . . . . . . . . . 11 |- -. u e. u
24		elequ2 2183	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( u e. z <-> u e. u ) )
25	23, 24	mtbiri 677	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> -. u e. z )
26	25	necon2ai 2432	. . . . . . . . 9 |- ( u e. z -> z =/= u )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> z =/= u )
28		fvunsng 5801	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ z =/= u ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
29	9, 27, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
30		eloni 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
31	1, 30	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
32		ordelss 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ u e. z ) -> u C_ z )
33	31, 32	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u C_ z )
34		resabs1 5007	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
36		elirrv 4614	. . . . . . . . . . . 12 |- -. z e. z
37		fsnunres 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
38	6, 36, 37	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
39	38	reseq1d 4977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
41	35, 40	eqtr3d 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( g |` u ) )
42	41	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
43	22, 29, 42	3eqtr4d 2250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
44	5	tfrlem3-2d 6421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
45	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
46		fndm 5392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g Fn z -> dom g = z )
47	6, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom g = z )
48	47	eleq2d 2277	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom g <-> z e. z ) )
49	36, 48	mtbiri 677	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
50		fsnunfv 5808	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ ( F ` g ) e. _V /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
51	1, 45, 49, 50	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
53		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> u = z )
54	53	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) )
55		reseq2 4973	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) )
56	55, 38	sylan9eqr 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = g )
57	56	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` g ) )
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
59	43, 58	jaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. z \/ u = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
60	10, 59	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
61	60	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ph -> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
62		fneq2 5382	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z ) )
63		raleq 2705	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) <-> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
64	62, 63	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
65	64	rspcev 2884	. . 3 |- ( ( suc z e. On /\ ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
66	3, 8, 61, 65	syl12anc 1248	. 2 |- ( ph -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
67		vex 2779	. . . . . 6 |- z e. _V
68		opexg 4290	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
69	67, 45, 68	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
70		snexg 4244	. . . . 5 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
71	69, 70	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
72		unexg 4508	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
73	11, 71, 72	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
74	4	tfrlem3ag 6418	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
75	73, 74	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
76	66, 75	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   {csn 3643   <.cop 3646   Ord word 4427   Oncon0 4428   suc csuc 4430   dom cdm 4693   |` cres 4695   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  6435  tfrlemi14d  6442