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Theorem tfrlemisucaccv 6104
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 6111. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemisucfn.3  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
tfrlemisucfn.4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
tfrlemisucfn.5  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrlemisucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, A    f, F, g, x, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
2 suceloni 4331 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  On )
4 tfrlemisucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
5 tfrlemisucfn.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
6 tfrlemisucfn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
7 tfrlemisucfn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
84, 5, 1, 6, 7tfrlemisucfn 6103 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  suc  z )
9 vex 2623 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
109elsuc 4242 . . . . 5  |-  ( u  e.  suc  z  <->  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )
11 vex 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
124, 11tfrlem3a 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
137, 12sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) ) )
14 simprrr 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
15 simprrl 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  v )
166adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
17 fndmu 5128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  v  /\  g  Fn  z )  ->  v  =  z )
1815, 16, 17syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  v  =  z )
1918raleqdv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
2014, 19mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
2113, 20rexlimddv 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) )
2221r19.21bi 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) )
23 elirrv 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  u  e.  u
24 elequ2 1649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  u ) )
2523, 24mtbiri 636 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  -.  u  e.  z )
2625necon2ai 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  z  ->  z  =/=  u )
2726adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  z  =/=  u )
28 fvunsng 5505 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  z  =/=  u )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
299, 27, 28sylancr 406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
30 eloni 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
311, 30syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
32 ordelss 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
3331, 32sylan 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
34 resabs1 4755 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
36 elirrv 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  z  e.  z
37 fsnunres 5513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
386, 36, 37sylancl 405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
3938reseq1d 4725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4039adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
4135, 40eqtr3d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4241fveq2d 5322 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  (
g  |`  u ) ) )
4322, 29, 423eqtr4d 2131 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
445tfrlem3-2d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
4544simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
46 fndm 5126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
476, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
4847eleq2d 2158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  g 
<->  z  e.  z ) )
4936, 48mtbiri 636 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
50 fsnunfv 5512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( F `  g )  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( F `  g
) )
511, 45, 49, 50syl3anc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
5251adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
53 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  u  =  z )
5453fveq2d 5322 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z ) )
55 reseq2 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z ) )
5655, 38sylan9eqr 2143 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  g )
5756fveq2d 5322 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  g
) )
5852, 54, 573eqtr4d 2131 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
5943, 58jaodan 747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
6010, 59sylan2b 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
6160ralrimiva 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
62 fneq2 5116 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z ) )
63 raleq 2563 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. u  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) )  <->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )
6462, 63anbi12d 458 . . . 4  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) ) )
6564rspcev 2723 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
663, 8, 61, 65syl12anc 1173 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
67 vex 2623 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
68 opexg 4064 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
6967, 45, 68sylancr 406 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
70 snexg 4025 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
7169, 70syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
72 unexg 4278 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
7311, 71, 72sylancr 406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
744tfrlem3ag 6088 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7573, 74syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7666, 75mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665   A.wal 1288    = wceq 1290    e. wcel 1439   {cab 2075    =/= wne 2256   A.wral 2360   E.wrex 2361   _Vcvv 2620    u. cun 2998    C_ wss 3000   {csn 3450   <.cop 3453   Ord word 4198   Oncon0 4199   suc csuc 4201   dom cdm 4452    |` cres 4454   Fun wfun 5022    Fn wfn 5023   ` cfv 5028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-res 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-fv 5036
This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  6105  tfrlemi14d  6112
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