Theorem tfrlemisucaccv 6534

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 6541. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.3	. . . 4 |- ( ph -> z e. On )
2		onsuc 4605	. . . 4 |- ( z e. On -> suc z e. On )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> suc z e. On )
4		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
5		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
6		tfrlemisucfn.4	. . . 4 |- ( ph -> g Fn z )
7		tfrlemisucfn.5	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
8	4, 5, 1, 6, 7	tfrlemisucfn 6533	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
9		vex 2806	. . . . . 6 |- u e. _V
10	9	elsuc 4509	. . . . 5 |- ( u e. suc z <-> ( u e. z \/ u = z ) )
11		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
12	4, 11	tfrlem3a 6519	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
13	7, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
14		simprrr 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
15		simprrl 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn v )
16	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn z )
17		fndmu 5440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn v /\ g Fn z ) -> v = z )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> v = z )
19	18	raleqdv 2737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
21	13, 20	rexlimddv 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
22	21	r19.21bi 2621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
23		elirrv 4652	. . . . . . . . . . 11 |- -. u e. u
24		elequ2 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( u e. z <-> u e. u ) )
25	23, 24	mtbiri 682	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> -. u e. z )
26	25	necon2ai 2457	. . . . . . . . 9 |- ( u e. z -> z =/= u )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> z =/= u )
28		fvunsng 5856	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ z =/= u ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
29	9, 27, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
30		eloni 4478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
31	1, 30	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
32		ordelss 4482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ u e. z ) -> u C_ z )
33	31, 32	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u C_ z )
34		resabs1 5048	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
36		elirrv 4652	. . . . . . . . . . . 12 |- -. z e. z
37		fsnunres 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
38	6, 36, 37	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
39	38	reseq1d 5018	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
41	35, 40	eqtr3d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( g |` u ) )
42	41	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
43	22, 29, 42	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
44	5	tfrlem3-2d 6521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
45	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
46		fndm 5436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g Fn z -> dom g = z )
47	6, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom g = z )
48	47	eleq2d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom g <-> z e. z ) )
49	36, 48	mtbiri 682	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
50		fsnunfv 5863	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ ( F ` g ) e. _V /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
51	1, 45, 49, 50	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
53		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> u = z )
54	53	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) )
55		reseq2 5014	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) )
56	55, 38	sylan9eqr 2286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = g )
57	56	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` g ) )
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
59	43, 58	jaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. z \/ u = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
60	10, 59	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
61	60	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ph -> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
62		fneq2 5426	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z ) )
63		raleq 2731	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) <-> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
64	62, 63	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
65	64	rspcev 2911	. . 3 |- ( ( suc z e. On /\ ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
66	3, 8, 61, 65	syl12anc 1272	. 2 |- ( ph -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
67		vex 2806	. . . . . 6 |- z e. _V
68		opexg 4326	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
69	67, 45, 68	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
70		snexg 4280	. . . . 5 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
71	69, 70	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
72		unexg 4546	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
73	11, 71, 72	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
74	4	tfrlem3ag 6518	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
75	73, 74	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
76	66, 75	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   <.cop 3676   Ord word 4465   Oncon0 4466   suc csuc 4468   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  6535  tfrlemi14d  6542