Theorem tfrlemisucaccv 6351

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 6358. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.3	. . . 4 |- ( ph -> z e. On )
2		onsuc 4518	. . . 4 |- ( z e. On -> suc z e. On )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> suc z e. On )
4		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
5		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
6		tfrlemisucfn.4	. . . 4 |- ( ph -> g Fn z )
7		tfrlemisucfn.5	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
8	4, 5, 1, 6, 7	tfrlemisucfn 6350	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
9		vex 2755	. . . . . 6 |- u e. _V
10	9	elsuc 4424	. . . . 5 |- ( u e. suc z <-> ( u e. z \/ u = z ) )
11		vex 2755	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
12	4, 11	tfrlem3a 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
13	7, 12	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. v e. On ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
14		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
15		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn v )
16	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> g Fn z )
17		fndmu 5336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn v /\ g Fn z ) -> v = z )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> v = z )
19	18	raleqdv 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> ( A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. On /\ ( g Fn v /\ A. u e. v ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) ) ) ) -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
21	13, 20	rexlimddv 2612	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. u e. z ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
22	21	r19.21bi 2578	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( g ` u ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
23		elirrv 4565	. . . . . . . . . . 11 |- -. u e. u
24		elequ2 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( u e. z <-> u e. u ) )
25	23, 24	mtbiri 676	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> -. u e. z )
26	25	necon2ai 2414	. . . . . . . . 9 |- ( u e. z -> z =/= u )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> z =/= u )
28		fvunsng 5731	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ z =/= u ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
29	9, 27, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( g ` u ) )
30		eloni 4393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
31	1, 30	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
32		ordelss 4397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ u e. z ) -> u C_ z )
33	31, 32	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> u C_ z )
34		resabs1 4954	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) )
36		elirrv 4565	. . . . . . . . . . . 12 |- -. z e. z
37		fsnunres 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
38	6, 36, 37	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) = g )
39	38	reseq1d 4924	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) |` u ) = ( g |` u ) )
41	35, 40	eqtr3d 2224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( g |` u ) )
42	41	fveq2d 5538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` ( g |` u ) ) )
43	22, 29, 42	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
44	5	tfrlem3-2d 6338	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
45	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
46		fndm 5334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g Fn z -> dom g = z )
47	6, 46	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom g = z )
48	47	eleq2d 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom g <-> z e. z ) )
49	36, 48	mtbiri 676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
50		fsnunfv 5738	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ ( F ` g ) e. _V /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
51	1, 45, 49, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) = ( F ` g ) )
53		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> u = z )
54	53	fveq2d 5538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` z ) )
55		reseq2 4920	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` z ) )
56	55, 38	sylan9eqr 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) = g )
57	56	fveq2d 5538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) = ( F ` g ) )
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
59	43, 58	jaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. z \/ u = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
60	10, 59	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
61	60	ralrimiva 2563	. . 3 |- ( ph -> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) )
62		fneq2 5324	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z ) )
63		raleq 2686	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) <-> A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
64	62, 63	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
65	64	rspcev 2856	. . 3 |- ( ( suc z e. On /\ ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z /\ A. u e. suc z ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
66	3, 8, 61, 65	syl12anc 1247	. 2 |- ( ph -> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) )
67		vex 2755	. . . . . 6 |- z e. _V
68		opexg 4246	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
69	67, 45, 68	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
70		snexg 4202	. . . . 5 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
71	69, 70	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
72		unexg 4461	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
73	11, 71, 72	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
74	4	tfrlem3ag 6335	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
75	73, 74	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A <-> E. w e. On ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn w /\ A. u e. w ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ` u ) = ( F ` ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) |` u ) ) ) ) )
76	66, 75	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   u. cun 3142   C_ wss 3144   {csn 3607   <.cop 3610   Ord word 4380   Oncon0 4381   suc csuc 4383   dom cdm 4644   |` cres 4646   Fun wfun 5229   Fn wfn 5230   ` cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243

This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  6352  tfrlemi14d  6359