Theorem funiun 5815

Description: A function is a union of singletons of ordered pairs indexed by its domain. (Contributed by AV, 18-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
funiun	|- ( Fun F -> F = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem funiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5347	. . 3 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		dffn5im 5678	. . 3 |- ( F Fn dom F -> F = ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. 2 |- ( Fun F -> F = ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) )
4		funfvex 5643	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
5	4	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( Fun F -> A. x e. dom F ( F ` x ) e. _V )
6		dfmptg 5813	. . 3 |- ( A. x e. dom F ( F ` x ) e. _V -> ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( Fun F -> ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )
8	3, 7	eqtrd 2262	1 |- ( Fun F -> F = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {csn 3666   <.cop 3669   U_ciun 3964   |-> cmpt 4144   dom cdm 4718   Fun wfun 5311   Fn wfn 5312   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325

This theorem is referenced by: (None)