Theorem funiun 5774

Description: A function is a union of singletons of ordered pairs indexed by its domain. (Contributed by AV, 18-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
funiun	|- ( Fun F -> F = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem funiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5310	. . 3 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		dffn5im 5637	. . 3 |- ( F Fn dom F -> F = ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. 2 |- ( Fun F -> F = ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) )
4		funfvex 5606	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
5	4	ralrimiva 2580	. . 3 |- ( Fun F -> A. x e. dom F ( F ` x ) e. _V )
6		dfmptg 5772	. . 3 |- ( A. x e. dom F ( F ` x ) e. _V -> ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( Fun F -> ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )
8	3, 7	eqtrd 2239	1 |- ( Fun F -> F = U_ x e. dom F { <. x , ( F ` x ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   {csn 3638   <.cop 3641   U_ciun 3933   |-> cmpt 4113   dom cdm 4683   Fun wfun 5274   Fn wfn 5275   ` cfv 5280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288

This theorem is referenced by: (None)