Theorem funiun 5828

Description: A function is a union of singletons of ordered pairs indexed by its domain. (Contributed by AV, 18-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
funiun	⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5356	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		dffn5im 5691	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3	1, 2	sylbi 121	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4		funfvex 5656	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) ∈ V)
6		dfmptg 5826	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) ∈ V → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})
8	3, 7	eqtrd 2264	1 ⊢ (Fun 𝐹 → 𝐹 = ∪ 𝑥 ∈ dom 𝐹{⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802  {csn 3669  ⟨cop 3672  ∪ ciun 3970   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by: (None)