Theorem fvpr2 5867

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr2.1	|- B e. _V
fvpr2.2	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvpr2	|- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Proof of Theorem fvpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3751	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = { <. B , D >. , <. A , C >. }
2	1	fveq1i 5649	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. , <. A , C >. } ` B )
3		necom 2487	. . 3 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvpr2.1	. . . 4 |- B e. _V
5		fvpr2.2	. . . 4 |- D e. _V
6	4, 5	fvpr1 5866	. . 3 |- ( B =/= A -> ( { <. B , D >. , <. A , C >. } ` B ) = D )
7	3, 6	sylbi 121	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. B , D >. , <. A , C >. } ` B ) = D )
8	2, 7	eqtrid 2276	1 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   _Vcvv 2803   {cpr 3674   <.cop 3676   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341

This theorem is referenced by: (None)