Theorem fvpr1g 5768

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	|- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3629	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5559	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2451	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvunsng 5756	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	2, 5	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	6	3adant2 1018	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8		fvsng 5758	. . 3 |- ( ( A e. V /\ C e. W ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
9	8	3adant3 1019	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
10	7, 9	eqtrd 2229	1 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   u. cun 3155   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fvtp1g  5770  fvpr0o  12984