Theorem fvpr1g 5542

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	|- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3473	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5341	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2346	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvunsng 5530	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 282	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	2, 5	syl5eq 2139	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	6	3adant2 965	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8		fvsng 5532	. . 3 |- ( ( A e. V /\ C e. W ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
9	8	3adant3 966	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
10	7, 9	eqtrd 2127	1 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 927   = wceq 1296   e. wcel 1445   =/= wne 2262   u. cun 3011   {csn 3466   {cpr 3467   <.cop 3469   ` cfv 5049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-res 4479  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057

This theorem is referenced by:  fvtp1g  5544