Theorem fvpr1g 5691

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	|- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3583	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5487	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2420	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvunsng 5679	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	2, 5	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	6	3adant2 1006	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8		fvsng 5681	. . 3 |- ( ( A e. V /\ C e. W ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
9	8	3adant3 1007	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
10	7, 9	eqtrd 2198	1 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvtp1g  5693