Theorem fvpr1g 5790

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	|- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3640	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5577	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2460	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvunsng 5778	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	2, 5	eqtrid 2250	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	6	3adant2 1019	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8		fvsng 5780	. . 3 |- ( ( A e. V /\ C e. W ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
9	8	3adant3 1020	. 2 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. } ` A ) = C )
10	7, 9	eqtrd 2238	1 |- ( ( A e. V /\ C e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   u. cun 3164   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  fvtp1g  5792  fvpr0o  13173