ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Unicode version

Theorem fvpr1g 5626
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3534 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5422 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2392 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvunsng 5614 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
53, 4sylan2b 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
62, 5syl5eq 2184 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  ( {
<. A ,  C >. } `
 A ) )
763adant2 1000 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  ( {
<. A ,  C >. } `
 A ) )
8 fvsng 5616 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
983adant3 1001 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
107, 9eqtrd 2172 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308    u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   ` cfv 5123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  fvtp1g  5628
  Copyright terms: Public domain W3C validator