Theorem fvpr1 5843

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	|- A e. _V
fvpr1.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	|- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3673	. . . 4 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5628	. . 3 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2484	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvpr1.1	. . . . 5 |- A e. _V
5		fvunsng 5833	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	3, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( A =/= B -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8	2, 7	eqtrid 2274	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
9		fvpr1.2	. . 3 |- C e. _V
10	4, 9	fvsn 5834	. 2 |- ( { <. A , C >. } ` A ) = C
11	8, 10	eqtrdi 2278	1 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvpr2  5844