Theorem fvpr1 5741

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	|- A e. _V
fvpr1.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	|- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3614	. . . 4 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5535	. . 3 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2444	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvpr1.1	. . . . 5 |- A e. _V
5		fvunsng 5731	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	3, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( A =/= B -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8	2, 7	eqtrid 2234	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
9		fvpr1.2	. . 3 |- C e. _V
10	4, 9	fvsn 5732	. 2 |- ( { <. A , C >. } ` A ) = C
11	8, 10	eqtrdi 2238	1 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   _Vcvv 2752   u. cun 3142   {csn 3607   {cpr 3608   <.cop 3610   ` cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243

This theorem is referenced by:  fvpr2  5742