Theorem fvpr1 5624

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	|- A e. _V
fvpr1.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	|- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3534	. . . 4 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	fveq1i 5422	. . 3 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A )
3		necom 2392	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvpr1.1	. . . . 5 |- A e. _V
5		fvunsng 5614	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B =/= A ) -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 |- ( B =/= A -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
7	3, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( A =/= B -> ( ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
8	2, 7	syl5eq 2184	. 2 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = ( { <. A , C >. } ` A ) )
9		fvpr1.2	. . 3 |- C e. _V
10	4, 9	fvsn 5615	. 2 |- ( { <. A , C >. } ` A ) = C
11	8, 10	syl6eq 2188	1 |- ( A =/= B -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fvpr2  5625