Theorem fvpr2 5858

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr2.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fvpr2.2	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3747	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2	1	fveq1i 5640	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3		necom 2486	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvpr2.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		fvpr2.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	fvpr1 5857	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
7	3, 6	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
8	2, 7	eqtrid 2276	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802  {cpr 3670  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334

This theorem is referenced by: (None)