Theorem fvtp3 5870

Description: The third value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp3.1	|- C e. _V
fvtp3.4	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp3	|- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3765	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5643	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2485	. . . 4 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp3.1	. . . . 5 |- C e. _V
5		fvtp3.4	. . . . 5 |- F e. _V
6	4, 5	fvtp2 5869	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
7	3, 6	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2275	1 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   =/= wne 2401   _Vcvv 2801   {ctp 3672   <.cop 3673   ` cfv 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336

This theorem is referenced by: (None)