Theorem fvtp3 5825

Description: The third value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp3.1	|- C e. _V
fvtp3.4	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp3	|- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3739	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5604	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2464	. . . 4 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp3.1	. . . . 5 |- C e. _V
5		fvtp3.4	. . . . 5 |- F e. _V
6	4, 5	fvtp2 5824	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
7	3, 6	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2254	1 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   =/= wne 2380   _Vcvv 2779   {ctp 3648   <.cop 3649   ` cfv 5294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302

This theorem is referenced by: (None)