Theorem grprinv 13915

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	grpcl 13872	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
4		grpinv.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	1, 4	grpidcl 13893	. 2 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
6	1, 2, 4	grplid 13895	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
7	1, 2	grpass 13873	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	1, 2, 4	grpinvex 13874	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = .0. )
9		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
10		grpinv.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
11	1, 10	grpinvcl 13912	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12	1, 2, 4, 10	grplinv 13914	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grpinva 13765	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868

This theorem is used by:  grpinvid1  13916  grpinvid2  13917  grprinvd  13920  grplrinv  13921  grpasscan1  13927  grpinvinv  13931  grplmulf1o  13938  grpinvadd  13942  grpsubid  13948  dfgrp3m  13963  mulgdirlem  14015  subginv  14043  nmzsubg  14072  eqger  14086  qusinv  14098  ghminv  14112  cntzsubg  14171  ringnegl  14463  unitrinv  14543  lmodvnegid  14775