Theorem grprinv 13909

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	grpcl 13866	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
4		grpinv.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	1, 4	grpidcl 13887	. 2 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
6	1, 2, 4	grplid 13889	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
7	1, 2	grpass 13867	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	1, 2, 4	grpinvex 13868	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = .0. )
9		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
10		grpinv.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
11	1, 10	grpinvcl 13906	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12	1, 2, 4, 10	grplinv 13908	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grpinva 13759	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   0gc0g 13663   Grpcgrp 13858   invgcminusg 13859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862

This theorem is used by:  grpinvid1  13910  grpinvid2  13911  grprinvd  13914  grplrinv  13915  grpasscan1  13921  grpinvinv  13925  grplmulf1o  13932  grpinvadd  13936  grpsubid  13942  dfgrp3m  13957  mulgdirlem  14009  subginv  14037  nmzsubg  14066  eqger  14080  qusinv  14092  ghminv  14106  cntzsubg  14165  ringnegl  14440  unitrinv  14518  lmodvnegid  14750