Theorem grprinv 13599

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinv.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		grpinv.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	grpcl 13556	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
4		grpinv.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	1, 4	grpidcl 13577	. 2 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
6	1, 2, 4	grplid 13579	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
7	1, 2	grpass 13557	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	1, 2, 4	grpinvex 13558	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = .0. )
9		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
10		grpinv.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
11	1, 10	grpinvcl 13596	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12	1, 2, 4, 10	grplinv 13598	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ X ) = .0. )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grpinva 13434	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   0gc0g 13304   Grpcgrp 13548   invgcminusg 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552

This theorem is referenced by:  grpinvid1  13600  grpinvid2  13601  grprinvd  13604  grplrinv  13605  grpasscan1  13611  grpinvinv  13615  grplmulf1o  13622  grpinvadd  13626  grpsubid  13632  dfgrp3m  13647  mulgdirlem  13705  subginv  13733  nmzsubg  13762  eqger  13776  qusinv  13788  ghminv  13802  ringnegl  14029  unitrinv  14106  lmodvnegid  14308