Theorem grprcan 13311

Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprcan.b	|- B = ( Base ` G )
grprcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grprcan

Dummy variables v u w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grprcan.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2204	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	grpinvex 13284	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
5	4	3ad2antr3 1166	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
6		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
7	6	oveq1d 5958	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( ( Y .+ Z ) .+ y ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> G e. Grp )
9	1, 2	grpass 13283	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
11		simplr1 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X e. B )
12		simplr3 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Z e. B )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> y e. B )
14	10, 11, 12, 13	caovassd 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( X .+ ( Z .+ y ) ) )
15		simplr2 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Y e. B )
16	10, 15, 12, 13	caovassd 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ y ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
17	7, 14, 16	3eqtr3d 2245	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
18	1, 2	grpcl 13282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
19	8, 18	syl3an1 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
20	1, 3	grpidcl 13303	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. B )
22	1, 2, 3	grplid 13305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
23	8, 22	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
24	1, 2, 3	grpinvex 13284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
27	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> y e. B )
28		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
30	19, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29	grpinva 13160	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
31	12, 30	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
32	31	oveq2d 5959	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
33	31	oveq2d 5959	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
34	17, 32, 33	3eqtr3d 2245	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
35	1, 2, 3	grprid 13306	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
36	8, 11, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
37	1, 2, 3	grprid 13306	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
38	8, 15, 37	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2245	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X = Y )
40	39	expr 375	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
41	5, 40	rexlimddv 2627	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
42		oveq1 5950	. 2 |- ( X = Y -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
43	41, 42	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   E.wrex 2484   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   0gc0g 13030   Grpcgrp 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277

This theorem is referenced by:  grpinveu  13312  grpid  13313  grpidlcan  13340  grpinvssd  13351  grpsubrcan  13355  grpsubadd  13362  rngrz  13650  ringcom  13735  ringrz  13748  rhmunitinv  13882  lmodcom  14037