Theorem grprcan 13444

Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprcan.b	|- B = ( Base ` G )
grprcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grprcan

Dummy variables v u w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grprcan.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2206	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	grpinvex 13417	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
5	4	3ad2antr3 1167	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
6		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
7	6	oveq1d 5972	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( ( Y .+ Z ) .+ y ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> G e. Grp )
9	1, 2	grpass 13416	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
11		simplr1 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X e. B )
12		simplr3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Z e. B )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> y e. B )
14	10, 11, 12, 13	caovassd 6119	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( X .+ ( Z .+ y ) ) )
15		simplr2 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Y e. B )
16	10, 15, 12, 13	caovassd 6119	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ y ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
17	7, 14, 16	3eqtr3d 2247	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
18	1, 2	grpcl 13415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
19	8, 18	syl3an1 1283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
20	1, 3	grpidcl 13436	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. B )
22	1, 2, 3	grplid 13438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
23	8, 22	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
24	1, 2, 3	grpinvex 13417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
27	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> y e. B )
28		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
30	19, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29	grpinva 13293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
31	12, 30	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
32	31	oveq2d 5973	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
33	31	oveq2d 5973	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
34	17, 32, 33	3eqtr3d 2247	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
35	1, 2, 3	grprid 13439	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
36	8, 11, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
37	1, 2, 3	grprid 13439	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
38	8, 15, 37	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2247	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X = Y )
40	39	expr 375	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
41	5, 40	rexlimddv 2629	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
42		oveq1 5964	. 2 |- ( X = Y -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
43	41, 42	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   0gc0g 13163   Grpcgrp 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410

This theorem is referenced by:  grpinveu  13445  grpid  13446  grpidlcan  13473  grpinvssd  13484  grpsubrcan  13488  grpsubadd  13495  rngrz  13783  ringcom  13868  ringrz  13881  rhmunitinv  14015  lmodcom  14170