Theorem grprcan 13239

Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprcan.b	|- B = ( Base ` G )
grprcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grprcan

Dummy variables v u w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grprcan.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	grpinvex 13212	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
5	4	3ad2antr3 1166	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
6		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
7	6	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( ( Y .+ Z ) .+ y ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> G e. Grp )
9	1, 2	grpass 13211	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
11		simplr1 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X e. B )
12		simplr3 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Z e. B )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> y e. B )
14	10, 11, 12, 13	caovassd 6087	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( X .+ ( Z .+ y ) ) )
15		simplr2 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Y e. B )
16	10, 15, 12, 13	caovassd 6087	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ y ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
17	7, 14, 16	3eqtr3d 2237	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
18	1, 2	grpcl 13210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
19	8, 18	syl3an1 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
20	1, 3	grpidcl 13231	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. B )
22	1, 2, 3	grplid 13233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
23	8, 22	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
24	1, 2, 3	grpinvex 13212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
27	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> y e. B )
28		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
30	19, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29	grpinva 13088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
31	12, 30	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
32	31	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
33	31	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
34	17, 32, 33	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
35	1, 2, 3	grprid 13234	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
36	8, 11, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
37	1, 2, 3	grprid 13234	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
38	8, 15, 37	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2237	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X = Y )
40	39	expr 375	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
41	5, 40	rexlimddv 2619	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
42		oveq1 5932	. 2 |- ( X = Y -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
43	41, 42	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Grpcgrp 13202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205

This theorem is referenced by:  grpinveu  13240  grpid  13241  grpidlcan  13268  grpinvssd  13279  grpsubrcan  13283  grpsubadd  13290  rngrz  13578  ringcom  13663  ringrz  13676  rhmunitinv  13810  lmodcom  13965