Theorem grprcan 13109

Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprcan.b	|- B = ( Base ` G )
grprcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grprcan

Dummy variables v u w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprcan.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grprcan.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	grpinvex 13082	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
5	4	3ad2antr3 1166	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> E. y e. B ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
6		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
7	6	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( ( Y .+ Z ) .+ y ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> G e. Grp )
9	1, 2	grpass 13081	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
11		simplr1 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X e. B )
12		simplr3 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Z e. B )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> y e. B )
14	10, 11, 12, 13	caovassd 6078	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ y ) = ( X .+ ( Z .+ y ) ) )
15		simplr2 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> Y e. B )
16	10, 15, 12, 13	caovassd 6078	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ y ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
17	7, 14, 16	3eqtr3d 2234	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( Z .+ y ) ) )
18	1, 2	grpcl 13080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
19	8, 18	syl3an1 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u .+ v ) e. B )
20	1, 3	grpidcl 13101	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
21	8, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. B )
22	1, 2, 3	grplid 13103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
23	8, 22	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
24	1, 2, 3	grpinvex 13082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ u e. B ) -> E. v e. B ( v .+ u ) = ( 0g ` G ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
27	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> y e. B )
28		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
30	19, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29	grpinva 12969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) /\ Z e. B ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
31	12, 30	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Z .+ y ) = ( 0g ` G ) )
32	31	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( Z .+ y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
33	31	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( Z .+ y ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
34	17, 32, 33	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
35	1, 2, 3	grprid 13104	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
36	8, 11, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
37	1, 2, 3	grprid 13104	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
38	8, 15, 37	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) /\ ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) ) ) -> X = Y )
40	39	expr 375	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ Z ) = ( 0g ` G ) ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
41	5, 40	rexlimddv 2616	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) -> X = Y ) )
42		oveq1 5925	. 2 |- ( X = Y -> ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) )
43	41, 42	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) = ( Y .+ Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Grpcgrp 13072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075

This theorem is referenced by:  grpinveu  13110  grpid  13111  grpidlcan  13138  grpinvssd  13149  grpsubrcan  13153  grpsubadd  13160  rngrz  13442  ringcom  13527  ringrz  13540  rhmunitinv  13674  lmodcom  13829