Theorem caovclg 6101

Description: Convert an operation closure law to class notation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
caovclg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )

Assertion

Ref	Expression
caovclg	|- ( ( ph /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( A F B ) e. E )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C, y   x, D, y   x, E, y   ph, x, y   x, F, y

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem caovclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovclg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )
2	1	ralrimivva 2588	. 2 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x F y ) e. E )
3		oveq1 5953	. . . 4 |- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
4	3	eleq1d 2274	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x F y ) e. E <-> ( A F y ) e. E ) )
5		oveq2 5954	. . . 4 |- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
6	5	eleq1d 2274	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A F y ) e. E <-> ( A F B ) e. E ) )
7	4, 6	rspc2v 2890	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x F y ) e. E -> ( A F B ) e. E ) )
8	2, 7	mpan9 281	1 |- ( ( ph /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( A F B ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484  (class class class)co 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949

This theorem is referenced by:  caovcld  6102  caovcl  6103  caovlem2d  6141  frec2uzrdg  10556  frecuzrdgsuc  10561  iseqovex  10605  seq3val  10607  seqf  10611  seq3caopr  10642  seqcaoprg  10643  ercpbl  13196  grpinva  13251  imasmnd2  13317  imasgrp2  13479  imasrng  13751  imasring  13859  qusrhm  14323  qusmul2  14324  plymullem  15255