Theorem gt0ne0ii 8778

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	|- A e. RR
gt0ne0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	|- A =/= 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 |- 0 < A
2		lt2.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ne0i 8777	. 2 |- ( 0 < A -> A =/= 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A =/= 0

Syntax hints:   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  nnne0i  9286  2ne0  9346  3ne0  9349  4ne0  9352  ene0  12494