ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0i Unicode version

Theorem addgt0i 8264
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1  |-  A  e.  RR
lt2.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
addgt0i  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem addgt0i
StepHypRef Expression
1 lt2.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt2.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 addgt0 8224 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  < 
A  /\  0  <  B ) )  ->  0  <  ( A  +  B
) )
41, 2, 3mpanl12 432 1  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7633   0cc0 7634    + caddc 7637    < clt 7814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-i2m1 7739  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-ltxr 7819
This theorem is referenced by:  addgt0ii  8267
  Copyright terms: Public domain W3C validator