ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infvalti GIF version

Theorem infvalti 6797
Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eqinfti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
infvalti.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infvalti (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑣

Proof of Theorem infvalti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6760 . 2 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 eqinfti.ti . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
32cnvti 6794 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
4 infvalti.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
54cnvinfex 6793 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
63, 5supval2ti 6770 . . 3 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
7 vex 2636 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
8 vex 2636 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 4650 . . . . . . . 8 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
109a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
1110notbid 630 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211ralbidv 2391 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
138, 7brcnv 4650 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1413a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦))
15 vex 2636 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
168, 15brcnv 4650 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1716a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1817rexbidv 2392 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1914, 18imbi12d 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2019ralbidv 2391 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2112, 20anbi12d 458 . . . 4 (𝜑 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
2221riotabidv 5648 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
236, 22eqtrd 2127 . 2 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
241, 23syl5eq 2139 1 (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371   class class class wbr 3867  ccnv 4466  crio 5645  supcsup 6757  infcinf 6758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-riota 5646  df-sup 6759  df-inf 6760
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator