ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbcl Unicode version

Theorem lbcl 8342
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound that belongs to the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lbcl  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbcl
StepHypRef Expression
1 lbreu 8341 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 riotacl 5583 . 2  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S )
31, 2syl 14 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   E!wreu 2357    C_ wss 2988   class class class wbr 3820   iota_crio 5568   RRcr 7293    <_ cle 7467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-apti 7404
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-cnv 4419  df-iota 4946  df-riota 5569  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472
This theorem is referenced by:  lbinf  8344  lbinfcl  8345
  Copyright terms: Public domain W3C validator