Theorem lble 8833

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, y, S   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbreu 8831	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )
2		nfcv 2306	. . . . . . 7 |- F/_ x S
3		nfriota1 5799	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
4		nfcv 2306	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2306	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
6	3, 4, 5	nfbr 4022	. . . . . . 7 |- F/ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
7	2, 6	nfralxy 2502	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
8		eqid 2164	. . . . . 6 |- ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
9		nfra1 2495	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y e. S x <_ y
10		nfcv 2306	. . . . . . . . 9 |- F/_ y S
11	9, 10	nfriota 5801	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
12	11	nfeq2 2318	. . . . . . 7 |- F/ y x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
13		breq1 3979	. . . . . . 7 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( x <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
14	12, 13	ralbid 2462	. . . . . 6 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
15	7, 8, 14	riotaprop 5815	. . . . 5 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
17	16	simprd 113	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y )
18		nfcv 2306	. . . . 5 |- F/_ y <_
19		nfcv 2306	. . . . 5 |- F/_ y A
20	11, 18, 19	nfbr 4022	. . . 4 |- F/ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A
21		breq2 3980	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
22	20, 21	rspc 2819	. . 3 |- ( A e. S -> ( A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
23	17, 22	mpan9 279	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
24	23	3impa 1183	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   E!wreu 2444   C_ wss 3111   class class class wbr 3976   iota_crio 5791   RRcr 7743   <_ cle 7925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-apti 7859

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-riota 5792  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930

This theorem is referenced by:  lbinf  8834  lbinfle  8836