Theorem lble 8974

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, y, S   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbreu 8972	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )
2		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x S
3		nfriota1 5885	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
4		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
6	3, 4, 5	nfbr 4079	. . . . . . 7 |- F/ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
7	2, 6	nfralxy 2535	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
8		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
9		nfra1 2528	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y e. S x <_ y
10		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ y S
11	9, 10	nfriota 5887	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
12	11	nfeq2 2351	. . . . . . 7 |- F/ y x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
13		breq1 4036	. . . . . . 7 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( x <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
14	12, 13	ralbid 2495	. . . . . 6 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
15	7, 8, 14	riotaprop 5901	. . . . 5 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
17	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y )
18		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ y <_
19		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ y A
20	11, 18, 19	nfbr 4079	. . . 4 |- F/ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A
21		breq2 4037	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
22	20, 21	rspc 2862	. . 3 |- ( A e. S -> ( A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
23	17, 22	mpan9 281	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
24	23	3impa 1196	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   E!wreu 2477   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   iota_crio 5876   RRcr 7878   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-apti 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-riota 5877  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  lbinf  8975  lbinfle  8977