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Theorem lble 8728
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Distinct variable groups:    x, y, S   
y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8726 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 nfcv 2282 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
3 nfriota1 5744 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
4 nfcv 2282 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2282 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
63, 4, 5nfbr 3981 . . . . . . 7  |-  F/ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
72, 6nfralxy 2474 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
8 eqid 2140 . . . . . 6  |-  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
9 nfra1 2469 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  e.  S  x  <_  y
10 nfcv 2282 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y S
119, 10nfriota 5746 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
1211nfeq2 2294 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
13 breq1 3939 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  y )
)
1412, 13ralbid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
157, 8, 14riotaprop 5760 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
)
1716simprd 113 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
18 nfcv 2282 . . . . 5  |-  F/_ y  <_
19 nfcv 2282 . . . . 5  |-  F/_ y A
2011, 18, 19nfbr 3981 . . . 4  |-  F/ y ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
21 breq2 3940 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  A )
)
2220, 21rspc 2786 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
)
2317, 22mpan9 279 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
24233impa 1177 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   E!wreu 2419    C_ wss 3075   class class class wbr 3936   iota_crio 5736   RRcr 7642    <_ cle 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-apti 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-iota 5095  df-riota 5737  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829
This theorem is referenced by:  lbinf  8729  lbinfle  8731
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