Theorem lble 8900

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, y, S   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbreu 8898	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )
2		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ x S
3		nfriota1 5835	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
4		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
6	3, 4, 5	nfbr 4048	. . . . . . 7 |- F/ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
7	2, 6	nfralxy 2515	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
8		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
9		nfra1 2508	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y e. S x <_ y
10		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ y S
11	9, 10	nfriota 5837	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
12	11	nfeq2 2331	. . . . . . 7 |- F/ y x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
13		breq1 4005	. . . . . . 7 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( x <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
14	12, 13	ralbid 2475	. . . . . 6 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
15	7, 8, 14	riotaprop 5851	. . . . 5 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
17	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y )
18		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y <_
19		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y A
20	11, 18, 19	nfbr 4048	. . . 4 |- F/ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A
21		breq2 4006	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
22	20, 21	rspc 2835	. . 3 |- ( A e. S -> ( A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
23	17, 22	mpan9 281	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
24	23	3impa 1194	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   C_ wss 3129   class class class wbr 4002   iota_crio 5827   RRcr 7807   <_ cle 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-apti 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-cnv 4633  df-iota 5177  df-riota 5828  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994

This theorem is referenced by:  lbinf  8901  lbinfle  8903