Theorem lble 9277

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, y, S   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbreu 9275	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )
2		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ x S
3		nfriota1 6046	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
4		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
6	3, 4, 5	nfbr 4177	. . . . . . 7 |- F/ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
7	2, 6	nfralxy 2588	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
8		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
9		nfra1 2581	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y e. S x <_ y
10		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ y S
11	9, 10	nfriota 6048	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
12	11	nfeq2 2404	. . . . . . 7 |- F/ y x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
13		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( x <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
14	12, 13	ralbid 2548	. . . . . 6 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
15	7, 8, 14	riotaprop 6064	. . . . 5 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
17	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y )
18		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ y <_
19		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ y A
20	11, 18, 19	nfbr 4177	. . . 4 |- F/ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A
21		breq2 4134	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
22	20, 21	rspc 2923	. . 3 |- ( A e. S -> ( A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
23	17, 22	mpan9 281	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
24	23	3impa 1225	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   iota_crio 6037   RRcr 8178   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-apti 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-riota 6038  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lbinf  9278  lbinfle  9280