Theorem lble 9126

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, y, S   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbreu 9124	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )
2		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ x S
3		nfriota1 5978	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
4		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
6	3, 4, 5	nfbr 4135	. . . . . . 7 |- F/ x ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
7	2, 6	nfralxy 2570	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y
8		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
9		nfra1 2563	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y e. S x <_ y
10		nfcv 2374	. . . . . . . . 9 |- F/_ y S
11	9, 10	nfriota 5980	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
12	11	nfeq2 2386	. . . . . . 7 |- F/ y x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y )
13		breq1 4091	. . . . . . 7 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( x <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
14	12, 13	ralbid 2530	. . . . . 6 |- ( x = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
15	7, 8, 14	riotaprop 5996	. . . . 5 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S /\ A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y ) )
17	16	simprd 114	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y )
18		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ y <_
19		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ y A
20	11, 18, 19	nfbr 4135	. . . 4 |- F/ y ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A
21		breq2 4092	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y <-> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
22	20, 21	rspc 2904	. . 3 |- ( A e. S -> ( A. y e. S ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ y -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A ) )
23	17, 22	mpan9 281	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
24	23	3impa 1220	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   E!wreu 2512   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   iota_crio 5969   RRcr 8030   <_ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-apti 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-riota 5970  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  lbinf  9127  lbinfle  9129