Theorem lbreu 9115

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem lbreu

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4090	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
2	1	rspcv 2904	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> ( A. y e. S x <_ y -> x <_ w ) )
3		breq2 4090	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( w <_ y <-> w <_ x ) )
4	3	rspcv 2904	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A. y e. S w <_ y -> w <_ x ) )
5	2, 4	im2anan9r 601	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
6		ssel 3219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( x e. S -> x e. RR ) )
7		ssel 3219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( w e. S -> w e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 335	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) ) )
9	8	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) )
10		letri3 8250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
12	11	exbiri 382	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( S C_ RR -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> x = w ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
14	5, 13	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
15	14	com3r 79	. . . . 5 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
16	15	ralrimivv 2611	. . . 4 |- ( S C_ RR -> A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) )
17	16	anim2i 342	. . 3 |- ( ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ S C_ RR ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
18	17	ancoms 268	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
19		breq1 4089	. . . 4 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
20	19	ralbidv 2530	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S w <_ y ) )
21	20	reu4 2998	. 2 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y <-> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
22	18, 21	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   RRcr 8021   <_ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-apti 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  lbcl  9116  lble  9117