Theorem lbreu 8341

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem lbreu

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3824	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
2	1	rspcv 2711	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> ( A. y e. S x <_ y -> x <_ w ) )
3		breq2 3824	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( w <_ y <-> w <_ x ) )
4	3	rspcv 2711	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A. y e. S w <_ y -> w <_ x ) )
5	2, 4	im2anan9r 564	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
6		ssel 3008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( x e. S -> x e. RR ) )
7		ssel 3008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( w e. S -> w e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 328	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) ) )
9	8	impcom 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) )
10		letri3 7510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
12	11	exbiri 374	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( S C_ RR -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> x = w ) ) )
13	12	com23 77	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
14	5, 13	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
15	14	com3r 78	. . . . 5 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
16	15	ralrimivv 2450	. . . 4 |- ( S C_ RR -> A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) )
17	16	anim2i 334	. . 3 |- ( ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ S C_ RR ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
18	17	ancoms 264	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
19		breq1 3823	. . . 4 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
20	19	ralbidv 2376	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S w <_ y ) )
21	20	reu4 2800	. 2 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y <-> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
22	18, 21	sylibr 132	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   E!wreu 2357   C_ wss 2988   class class class wbr 3820   RRcr 7293   <_ cle 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-apti 7404

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-cnv 4419  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472

This theorem is referenced by:  lbcl  8342  lble  8343