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Theorem lbreu 8671
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
21rspcv 2759 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  ->  x  <_  w ) )
3 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
w  <_  y  <->  w  <_  x ) )
43rspcv 2759 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  w  <_  y  ->  w  <_  x ) )
52, 4im2anan9r 573 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
6 ssel 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR ) )
86, 7anim12d 333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) ) )
98impcom 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR ) )
10 letri3 7813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  =  w  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  x ) ) )
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  S  C_  RR )  ->  ( x  =  w  <->  ( x  <_  w  /\  w  <_  x
) ) )
1211exbiri 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( S  C_  RR  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  x  =  w ) ) )
1312com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( x  <_  w  /\  w  <_  x
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
145, 13syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  ( S  C_  RR  ->  x  =  w ) ) )
1514com3r 79 . . . . 5  |-  ( S 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y
)  ->  x  =  w ) ) )
1615ralrimivv 2490 . . . 4  |-  ( S 
C_  RR  ->  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) )
1716anim2i 339 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  S  C_  RR )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
1817ancoms 266 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  (
( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w )
) )
19 breq1 3902 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
2019ralbidv 2414 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  w  <_  y ) )
2120reu4 2851 . 2  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  <->  ( E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. x  e.  S  A. w  e.  S  ( ( A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A. y  e.  S  w  <_  y )  ->  x  =  w ) ) )
2218, 21sylibr 133 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   RRcr 7587    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-apti 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  lbcl  8672  lble  8673
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