Theorem lbreu 9265

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem lbreu

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4129	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
2	1	rspcv 2925	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> ( A. y e. S x <_ y -> x <_ w ) )
3		breq2 4129	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( w <_ y <-> w <_ x ) )
4	3	rspcv 2925	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A. y e. S w <_ y -> w <_ x ) )
5	2, 4	im2anan9r 607	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
6		ssel 3242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( x e. S -> x e. RR ) )
7		ssel 3242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( w e. S -> w e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 335	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) ) )
9	8	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) )
10		letri3 8396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
12	11	exbiri 382	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( S C_ RR -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> x = w ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
14	5, 13	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
15	14	com3r 79	. . . . 5 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
16	15	ralrimivv 2631	. . . 4 |- ( S C_ RR -> A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) )
17	16	anim2i 342	. . 3 |- ( ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ S C_ RR ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
18	17	ancoms 268	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
19		breq1 4128	. . . 4 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
20	19	ralbidv 2550	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S w <_ y ) )
21	20	reu4 3020	. 2 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y <-> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
22	18, 21	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   RRcr 8168   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-apti 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  lbcl  9266  lble  9267