Theorem lbreu 8964

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem lbreu

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
2	1	rspcv 2860	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> ( A. y e. S x <_ y -> x <_ w ) )
3		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( w <_ y <-> w <_ x ) )
4	3	rspcv 2860	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A. y e. S w <_ y -> w <_ x ) )
5	2, 4	im2anan9r 599	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
6		ssel 3173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( x e. S -> x e. RR ) )
7		ssel 3173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( w e. S -> w e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 335	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) ) )
9	8	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) )
10		letri3 8100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
12	11	exbiri 382	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( S C_ RR -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> x = w ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
14	5, 13	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
15	14	com3r 79	. . . . 5 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
16	15	ralrimivv 2575	. . . 4 |- ( S C_ RR -> A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) )
17	16	anim2i 342	. . 3 |- ( ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ S C_ RR ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
18	17	ancoms 268	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
19		breq1 4032	. . . 4 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
20	19	ralbidv 2494	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S w <_ y ) )
21	20	reu4 2954	. 2 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y <-> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
22	18, 21	sylibr 134	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   E!wreu 2474   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   RRcr 7871   <_ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  lbcl  8965  lble  8966