Theorem lbinf 8969

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinf	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, S, y

Proof of Theorem lbinf

Dummy variables f g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8101	. . 3 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		lbcl 8967	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S )
4		ssel 3174	. . . 4 |- ( S C_ RR -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
6	3, 5	mpd 13	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
8		ssel2 3175	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ z e. S ) -> z e. RR )
9	8	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> z e. RR )
10		lble 8968	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
11	10	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
12	7, 9, 11	lensymd 8143	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> -. z < ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
13	2, 6, 3, 12	infminti 7088	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   iota_crio 5873  infcinf 7044   RRcr 7873   < clt 8056   <_ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-riota 5874  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  lbinfcl  8970  lbinfle  8971