Theorem lbinf 9239

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinf	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, S, y

Proof of Theorem lbinf

Dummy variables f g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8369	. . 3 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		lbcl 9237	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S )
4		ssel 3236	. . . 4 |- ( S C_ RR -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
6	3, 5	mpd 13	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
8		ssel2 3237	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ z e. S ) -> z e. RR )
9	8	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> z e. RR )
10		lble 9238	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
11	10	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
12	7, 9, 11	lensymd 8411	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> -. z < ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
13	2, 6, 3, 12	infminti 7331	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   iota_crio 6010  infcinf 7287   RRcr 8142   < clt 8324   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-apti 8258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-riota 6011  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  lbinfcl  9240  lbinfle  9241