Theorem lbinf 8992

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinf	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, S, y

Proof of Theorem lbinf

Dummy variables f g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8123	. . 3 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		lbcl 8990	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S )
4		ssel 3178	. . . 4 |- ( S C_ RR -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
6	3, 5	mpd 13	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
8		ssel2 3179	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ z e. S ) -> z e. RR )
9	8	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> z e. RR )
10		lble 8991	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
11	10	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
12	7, 9, 11	lensymd 8165	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> -. z < ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
13	2, 6, 3, 12	infminti 7102	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   iota_crio 5879  infcinf 7058   RRcr 7895   < clt 8078   <_ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-apti 8011

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-riota 5880  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  lbinfcl  8993  lbinfle  8994