Theorem lmodvscld 14625

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscld.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvscld.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvscld.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvscld.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvscld.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodvscld.r	|- ( ph -> R e. K )
lmodvscld.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscld	|- ( ph -> ( R .x. X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvscld.w	. 2 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodvscld.r	. 2 |- ( ph -> R e. K )
3		lmodvscld.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
4		lmodvscld.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
5		lmodvscld.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
6		lmodvscld.s	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
7		lmodvscld.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
8	4, 5, 6, 7	lmodvscl 14624	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> ( R .x. X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335  Scalarcsca 13417   .scvsca 13418   LModclmod 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-lmod 14608

This theorem is referenced by:  assa2ass2  14993  asclvald  15005  asclfnd  15006