Theorem lmodvscl 14453

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvscl.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvscl.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscl	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. 2 |- ( W e. LMod <-> W e. LMod )
2		pm4.24 395	. 2 |- ( R e. K <-> ( R e. K /\ R e. K ) )
3		pm4.24 395	. 2 |- ( X e. V <-> ( X e. V /\ X e. V ) )
4		lmodvscl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodvscl.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
7		lmodvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvscl.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
10		eqid 2232	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
11		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmodlema 14440	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
13	12	simpld 112	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) )
14	13	simp1d 1036	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. X ) e. V )
15	1, 2, 3, 14	syl3anb 1317	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  Scalarcsca 13293   .scvsca 13294   1rcur 14103   LModclmod 14435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-lmod 14437

This theorem is referenced by:  lmodscaf  14458  lmod0vs  14469  lmodvsmmulgdi  14471  lcomf  14475  lmodvneg1  14478  lmodvsneg  14479  lmodnegadd  14484  lmodsubvs  14491  lmodsubdi  14492  lmodsubdir  14493  lmodprop2d  14496  lss1  14510  lssvsubcl  14514  lssvscl  14523  lss1d  14531