Theorem lmodvscl 14338

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvscl.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvscl.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscl	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. 2 |- ( W e. LMod <-> W e. LMod )
2		pm4.24 395	. 2 |- ( R e. K <-> ( R e. K /\ R e. K ) )
3		pm4.24 395	. 2 |- ( X e. V <-> ( X e. V /\ X e. V ) )
4		lmodvscl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodvscl.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
7		lmodvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvscl.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmodlema 14325	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
13	12	simpld 112	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) )
14	13	simp1d 1035	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. X ) e. V )
15	1, 2, 3, 14	syl3anb 1316	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179  Scalarcsca 13181   .scvsca 13182   1rcur 13991   LModclmod 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-lmod 14322

This theorem is referenced by:  lmodscaf  14343  lmod0vs  14354  lmodvsmmulgdi  14356  lcomf  14360  lmodvneg1  14363  lmodvsneg  14364  lmodnegadd  14369  lmodsubvs  14376  lmodsubdi  14377  lmodsubdir  14378  lmodprop2d  14381  lss1  14395  lssvsubcl  14399  lssvscl  14408  lss1d  14416