Theorem lmodvscl 14384

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvscl.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvscl.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscl	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. 2 |- ( W e. LMod <-> W e. LMod )
2		pm4.24 395	. 2 |- ( R e. K <-> ( R e. K /\ R e. K ) )
3		pm4.24 395	. 2 |- ( X e. V <-> ( X e. V /\ X e. V ) )
4		lmodvscl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodvscl.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
7		lmodvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvscl.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmodlema 14371	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
13	12	simpld 112	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) )
14	13	simp1d 1036	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. X ) e. V )
15	1, 2, 3, 14	syl3anb 1317	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227   1rcur 14036   LModclmod 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-lmod 14368

This theorem is referenced by:  lmodscaf  14389  lmod0vs  14400  lmodvsmmulgdi  14402  lcomf  14406  lmodvneg1  14409  lmodvsneg  14410  lmodnegadd  14415  lmodsubvs  14422  lmodsubdi  14423  lmodsubdir  14424  lmodprop2d  14427  lss1  14441  lssvsubcl  14445  lssvscl  14454  lss1d  14462