Theorem lmodvscl 14182

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscl.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvscl.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvscl.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvscl	|- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Proof of Theorem lmodvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. 2 |- ( W e. LMod <-> W e. LMod )
2		pm4.24 395	. 2 |- ( R e. K <-> ( R e. K /\ R e. K ) )
3		pm4.24 395	. 2 |- ( X e. V <-> ( X e. V /\ X e. V ) )
4		lmodvscl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodvscl.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
7		lmodvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvscl.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
10		eqid 2207	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
11		eqid 2207	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmodlema 14169	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
13	12	simpld 112	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) )
14	13	simp1d 1012	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. X ) e. V )
15	1, 2, 3, 14	syl3anb 1293	1 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. V ) -> ( R .x. X ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   .rcmulr 13025  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   1rcur 13836   LModclmod 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-lmod 14166

This theorem is referenced by:  lmodscaf  14187  lmod0vs  14198  lmodvsmmulgdi  14200  lcomf  14204  lmodvneg1  14207  lmodvsneg  14208  lmodnegadd  14213  lmodsubvs  14220  lmodsubdi  14221  lmodsubdir  14222  lmodprop2d  14225  lss1  14239  lssvsubcl  14243  lssvscl  14252  lss1d  14260