Theorem lmodvscld 14726

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscld.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscld.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscld.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvscld.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvscld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvscld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lmodvscld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscld	⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvscld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvscld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
3		lmodvscld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodvscld.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lmodvscld.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lmodvscld.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lmodvscld.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7	lmodvscl 14725	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  Scalarcsca 13487   ·_𝑠 cvsca 13488  LModclmod 14707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-lmod 14709

This theorem is used by:  assa2ass2  15094  asclvald  15106  asclfnd  15107