Theorem mnfnre 8150

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8084	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6392	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8145	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8144	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3630	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2228	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2273	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 673	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 8093	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 664	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2476	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2178   e/ wnel 2473   _Vcvv 2776   ~Pcpw 3626   U.cuni 3864   CCcc 7958   RRcr 7959   +oocpnf 8139   -oocmnf 8140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-nel 2474  df-ral 2491  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-pnf 8144  df-mnf 8145

This theorem is referenced by:  renemnf  8156  xrltnr  9936  nltmnf  9945