Theorem mnfnre 8062

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7996	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6336	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8057	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8056	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3605	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2214	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2259	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 672	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 8005	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 663	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2462	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   CCcc 7870   RRcr 7871   +oocpnf 8051   -oocmnf 8052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-pnf 8056  df-mnf 8057

This theorem is referenced by:  renemnf  8068  xrltnr  9845  nltmnf  9854