Theorem mnfnre 7808

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7744	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6180	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 7803	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 7802	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3514	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2160	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2205	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 660	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7753	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 651	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2406	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1480   e/ wnel 2403   _Vcvv 2686   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   CCcc 7618   RRcr 7619   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-nel 2404  df-ral 2421  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7802  df-mnf 7803

This theorem is referenced by:  renemnf  7814  xrltnr  9566  nltmnf  9574