Theorem mnfnre 7832

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7768	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6188	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 7827	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 7826	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3519	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2161	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2206	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 661	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7777	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 652	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2407	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1481   e/ wnel 2404   _Vcvv 2689   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   CCcc 7642   RRcr 7643   +oocpnf 7821   -oocmnf 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-nel 2405  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-pnf 7826  df-mnf 7827

This theorem is referenced by:  renemnf  7838  xrltnr  9596  nltmnf  9604