Theorem mnfnre 8069

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8003	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6341	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8064	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8063	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3609	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2217	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2262	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 672	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 8012	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 663	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2465	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2167   e/ wnel 2462   _Vcvv 2763   ~Pcpw 3605   U.cuni 3839   CCcc 7877   RRcr 7878   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-nel 2463  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-pnf 8063  df-mnf 8064

This theorem is referenced by:  renemnf  8075  xrltnr  9854  nltmnf  9863