Theorem mnfnre 8002

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7937	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6286	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 7997	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 7996	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3581	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2198	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2243	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 671	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7946	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 662	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2445	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2148   e/ wnel 2442   _Vcvv 2739   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   CCcc 7811   RRcr 7812   +oocpnf 7991   -oocmnf 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-ral 2460  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-pnf 7996  df-mnf 7997

This theorem is referenced by:  renemnf  8008  xrltnr  9781  nltmnf  9790