Theorem mnfnre 8281

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8216	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6492	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8276	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8275	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3660	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2252	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2297	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 678	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 8225	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 668	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2501	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2202   e/ wnel 2498   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   CCcc 8090   RRcr 8091   +oocpnf 8270   -oocmnf 8271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-nel 2499  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8275  df-mnf 8276

This theorem is referenced by:  renemnf  8287  xrltnr  10075  nltmnf  10084