Theorem mnfnre 8014

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7949	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6298	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8009	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8008	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3591	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2208	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2253	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 672	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7958	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 663	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2455	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2158   e/ wnel 2452   _Vcvv 2749   ~Pcpw 3587   U.cuni 3821   CCcc 7823   RRcr 7824   +oocpnf 8003   -oocmnf 8004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-nel 2453  df-ral 2470  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-pnf 8008  df-mnf 8009

This theorem is referenced by:  renemnf  8020  xrltnr  9793  nltmnf  9802