Theorem mnfnre 8064

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7998	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 6338	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 8059	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 8058	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3606	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2214	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2259	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 672	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 8007	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 663	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2462	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   ~Pcpw 3602   U.cuni 3836   CCcc 7872   RRcr 7873   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-pnf 8058  df-mnf 8059

This theorem is referenced by:  renemnf  8070  xrltnr  9848  nltmnf  9857