Theorem renemnf 7927

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7921	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2424	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2220	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 665	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2381	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   RRcr 7732   -oocmnf 7911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-pnf 7915  df-mnf 7916

This theorem is referenced by:  renemnfd  7930  renfdisj  7938  ltxrlt  7944  xrnemnf  9685  xrlttri3  9705  ngtmnft  9722  xrrebnd  9724  rexneg  9735  xrmnfdc  9748  rexadd  9757  xaddnemnf  9762  xaddcom  9766  xaddid1  9767  xnegdi  9773  xpncan  9776  xleadd1a  9778  xltadd1  9781  xposdif  9787  xrmaxrecl  11156  isxmet2d  12790