Theorem renemnf 7838

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7832	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2406	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2203	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 665	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2363	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   RRcr 7643   -oocmnf 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-pnf 7826  df-mnf 7827

This theorem is referenced by:  renemnfd  7841  renfdisj  7848  ltxrlt  7854  xrnemnf  9594  xrlttri3  9613  ngtmnft  9630  xrrebnd  9632  rexneg  9643  xrmnfdc  9656  rexadd  9665  xaddnemnf  9670  xaddcom  9674  xaddid1  9675  xnegdi  9681  xpncan  9684  xleadd1a  9686  xltadd1  9689  xposdif  9695  xrmaxrecl  11056  isxmet2d  12556