Theorem renemnf 8002

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7996	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2444	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 675	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2401	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   RRcr 7807   -oocmnf 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-pnf 7990  df-mnf 7991

This theorem is referenced by:  renemnfd  8005  renfdisj  8013  ltxrlt  8019  xrnemnf  9773  xrlttri3  9793  ngtmnft  9813  xrrebnd  9815  rexneg  9826  xrmnfdc  9839  rexadd  9848  xaddnemnf  9853  xaddcom  9857  xaddid1  9858  xnegdi  9864  xpncan  9867  xleadd1a  9869  xltadd1  9872  xposdif  9878  xrmaxrecl  11256  isxmet2d  13719