Theorem renemnf 8123

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8117	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2473	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2268	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 677	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2430	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   RRcr 7926   -oocmnf 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-pnf 8111  df-mnf 8112

This theorem is referenced by:  renemnfd  8126  renfdisj  8134  ltxrlt  8140  xrnemnf  9901  xrlttri3  9921  ngtmnft  9941  xrrebnd  9943  rexneg  9954  xrmnfdc  9967  rexadd  9976  xaddnemnf  9981  xaddcom  9985  xaddid1  9986  xnegdi  9992  xpncan  9995  xleadd1a  9997  xltadd1  10000  xposdif  10006  xrmaxrecl  11599  isxmet2d  14853