Theorem renemnf 8322

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8316	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2509	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2295	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 682	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2466	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   RRcr 8126   -oocmnf 8306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-mnf 8311

This theorem is referenced by:  renemnfd  8325  renfdisj  8333  ltxrlt  8339  xrnemnf  10110  xrlttri3  10130  ngtmnft  10150  xrrebnd  10152  rexneg  10163  xrmnfdc  10176  rexadd  10185  xaddnemnf  10190  xaddcom  10194  xaddid1  10195  xnegdi  10201  xpncan  10204  xleadd1a  10206  xltadd1  10209  xposdif  10215  xrmaxrecl  11940  isxmet2d  15213