Theorem renemnf 8068

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8062	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2461	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2256	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 676	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2418	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   RRcr 7871   -oocmnf 8052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-pnf 8056  df-mnf 8057

This theorem is referenced by:  renemnfd  8071  renfdisj  8079  ltxrlt  8085  xrnemnf  9843  xrlttri3  9863  ngtmnft  9883  xrrebnd  9885  rexneg  9896  xrmnfdc  9909  rexadd  9918  xaddnemnf  9923  xaddcom  9927  xaddid1  9928  xnegdi  9934  xpncan  9937  xleadd1a  9939  xltadd1  9942  xposdif  9948  xrmaxrecl  11398  isxmet2d  14516