Theorem renemnf 8195

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8189	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2497	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2292	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 679	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2454	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   RRcr 7998   -oocmnf 8179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-pnf 8183  df-mnf 8184

This theorem is referenced by:  renemnfd  8198  renfdisj  8206  ltxrlt  8212  xrnemnf  9973  xrlttri3  9993  ngtmnft  10013  xrrebnd  10015  rexneg  10026  xrmnfdc  10039  rexadd  10048  xaddnemnf  10053  xaddcom  10057  xaddid1  10058  xnegdi  10064  xpncan  10067  xleadd1a  10069  xltadd1  10072  xposdif  10078  xrmaxrecl  11766  isxmet2d  15022