Theorem renemnf 8006

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 8000	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2444	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 675	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2401	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   RRcr 7810   -oocmnf 7990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-pnf 7994  df-mnf 7995

This theorem is referenced by:  renemnfd  8009  renfdisj  8017  ltxrlt  8023  xrnemnf  9777  xrlttri3  9797  ngtmnft  9817  xrrebnd  9819  rexneg  9830  xrmnfdc  9843  rexadd  9852  xaddnemnf  9857  xaddcom  9861  xaddid1  9862  xnegdi  9868  xpncan  9871  xleadd1a  9873  xltadd1  9876  xposdif  9882  xrmaxrecl  11263  isxmet2d  13851