Theorem renemnf 8005

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	|- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 7999	. . . 4 |- -oo e/ RR
2	1	neli 2444	. . 3 |- -. -oo e. RR
3		eleq1 2240	. . 3 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 675	. 2 |- ( A = -oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2401	1 |- ( A e. RR -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   RRcr 7809   -oocmnf 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-pnf 7993  df-mnf 7994

This theorem is referenced by:  renemnfd  8008  renfdisj  8016  ltxrlt  8022  xrnemnf  9776  xrlttri3  9796  ngtmnft  9816  xrrebnd  9818  rexneg  9829  xrmnfdc  9842  rexadd  9851  xaddnemnf  9856  xaddcom  9860  xaddid1  9861  xnegdi  9867  xpncan  9870  xleadd1a  9872  xltadd1  9875  xposdif  9881  xrmaxrecl  11262  isxmet2d  13818