ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfnre Unicode version

Theorem pnfnre 7590
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 cnex 7527 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
21uniex 4273 . . . . 5  |-  U. CC  e.  _V
3 pwuninel2 6061 . . . . 5  |-  ( U. CC  e.  _V  ->  -.  ~P U. CC  e.  CC )
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
5 df-pnf 7585 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
65eleq1i 2154 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
74, 6mtbir 632 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
8 recn 7536 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
97, 8mto 624 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
109nelir 2354 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1439    e/ wnel 2351   _Vcvv 2620   ~Pcpw 3433   U.cuni 3659   CCcc 7409   RRcr 7410   +oocpnf 7580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-un 4269  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-nel 2352  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-uni 3660  df-pnf 7585
This theorem is referenced by:  renepnf  7596  nn0nepnf  8805  xrltnr  9311  pnfnlt  9318  inftonninf  9908
  Copyright terms: Public domain W3C validator