Theorem pnfnre 8360

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8296	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4581	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6546	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 8355	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2304	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 682	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 8305	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 672	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2518	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   U.cuni 3933   CCcc 8170   RRcr 8171   +oocpnf 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-un 4576  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-nel 2516  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-uni 3934  df-pnf 8355

This theorem is referenced by:  renepnf  8366  nn0nepnf  9620  xrltnr  10163  pnfnlt  10171  xnn0lenn0nn0  10249  inftonninf  10860  pcgcd1  13088  pc2dvds  13090