Theorem pnfnre 8061

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7996	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4468	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6335	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 8056	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2259	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 672	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 8005	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 663	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2462	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   CCcc 7870   RRcr 7871   +oocpnf 8051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-uni 3836  df-pnf 8056

This theorem is referenced by:  renepnf  8067  nn0nepnf  9311  xrltnr  9845  pnfnlt  9853  xnn0lenn0nn0  9931  inftonninf  10513  pcgcd1  12466  pc2dvds  12468