Theorem pnfnre 8116

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8051	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4485	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6370	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 8111	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2271	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 673	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 8060	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 664	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2474	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2176   e/ wnel 2471   _Vcvv 2772   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   CCcc 7925   RRcr 7926   +oocpnf 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-nel 2472  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-uni 3851  df-pnf 8111

This theorem is referenced by:  renepnf  8122  nn0nepnf  9368  xrltnr  9903  pnfnlt  9911  xnn0lenn0nn0  9989  inftonninf  10589  pcgcd1  12684  pc2dvds  12686