Theorem pnfnre 7590

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7527	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4273	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6061	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 7585	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2154	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 632	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 7536	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 624	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2354	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1439   e/ wnel 2351   _Vcvv 2620   ~Pcpw 3433   U.cuni 3659   CCcc 7409   RRcr 7410   +oocpnf 7580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-un 4269  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-nel 2352  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-uni 3660  df-pnf 7585

This theorem is referenced by:  renepnf  7596  nn0nepnf  8805  xrltnr  9311  pnfnlt  9318  inftonninf  9908