Theorem pnfnre 7508

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7445	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4255	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6029	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 7503	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2153	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 631	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 7454	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 623	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2353	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1438   e/ wnel 2350   _Vcvv 2619   ~Pcpw 3425   U.cuni 3648   CCcc 7327   RRcr 7328   +oocpnf 7498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-un 4251  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-nel 2351  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-uni 3649  df-pnf 7503

This theorem is referenced by:  renepnf  7514  nn0nepnf  8714  xrltnr  9219  pnfnlt  9226  inftonninf  9812