Theorem pnfnre 7994

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7931	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4436	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6279	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 7989	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2243	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 671	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 7940	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 662	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2445	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2148   e/ wnel 2442   _Vcvv 2737   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   CCcc 7805   RRcr 7806   +oocpnf 7984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-uni 3810  df-pnf 7989

This theorem is referenced by:  renepnf  8000  nn0nepnf  9242  xrltnr  9774  pnfnlt  9782  xnn0lenn0nn0  9860  inftonninf  10435  pcgcd1  12318  pc2dvds  12320