Theorem pnfnre 8317

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8253	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4560	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6515	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 8312	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2300	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 678	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 8262	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 668	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2512	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2205   e/ wnel 2509   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3671   U.cuni 3916   CCcc 8127   RRcr 8128   +oocpnf 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-nel 2510  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-uni 3917  df-pnf 8312

This theorem is referenced by:  renepnf  8323  nn0nepnf  9573  xrltnr  10115  pnfnlt  10123  xnn0lenn0nn0  10201  inftonninf  10808  pcgcd1  13030  pc2dvds  13032