Theorem pnfnre 7961

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7898	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4422	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 6261	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 7956	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2236	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 666	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 7907	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 657	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2438	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2141   e/ wnel 2435   _Vcvv 2730   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   CCcc 7772   RRcr 7773   +oocpnf 7951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-nel 2436  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797  df-pnf 7956

This theorem is referenced by:  renepnf  7967  nn0nepnf  9206  xrltnr  9736  pnfnlt  9744  xnn0lenn0nn0  9822  inftonninf  10397  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283