Theorem mnfnre 7680

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7616	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
2		2pwuninelg 6110	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
4		df-mnf 7675	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
5		df-pnf 7674	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	pweqi 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
7	4, 6	eqtri 2120	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
8	7	eleq1i 2165	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
9	3, 8	mtbir 637	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
10		recn 7625	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
11	9, 10	mto 629	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
12	11	nelir 2365	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1448   ∉ wnel 2362  Vcvv 2641  𝒫 cpw 3457  ∪ cuni 3683  ℂcc 7498  ℝcr 7499  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-nel 2363  df-ral 2380  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-pnf 7674  df-mnf 7675

This theorem is referenced by:  renemnf  7686  xrltnr  9407  nltmnf  9415