Theorem mnfnre 8115

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8049	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
2		2pwuninelg 6369	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
4		df-mnf 8110	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
5		df-pnf 8109	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	pweqi 3620	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
7	4, 6	eqtri 2226	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
8	7	eleq1i 2271	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
9	3, 8	mtbir 673	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
10		recn 8058	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
11	9, 10	mto 664	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
12	11	nelir 2474	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2176   ∉ wnel 2471  Vcvv 2772  𝒫 cpw 3616  ∪ cuni 3850  ℂcc 7923  ℝcr 7924  +∞cpnf 8104  -∞cmnf 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-nel 2472  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-pnf 8109  df-mnf 8110

This theorem is referenced by:  renemnf  8121  xrltnr  9901  nltmnf  9910