Theorem mnfnre 8062

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7996	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
2		2pwuninelg 6336	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
4		df-mnf 8057	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
5		df-pnf 8056	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	pweqi 3605	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
7	4, 6	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
8	7	eleq1i 2259	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
9	3, 8	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
10		recn 8005	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
11	9, 10	mto 663	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
12	11	nelir 2462	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2164   ∉ wnel 2459  Vcvv 2760  𝒫 cpw 3601  ∪ cuni 3835  ℂcc 7870  ℝcr 7871  +∞cpnf 8051  -∞cmnf 8052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-pnf 8056  df-mnf 8057

This theorem is referenced by:  renemnf  8068  xrltnr  9845  nltmnf  9854