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Theorem copsexg 4227
Description: Substitution of class  A for ordered pair  <. x ,  y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2733 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2733 . . . 4  |-  y  e. 
_V
31, 2eqvinop 4226 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. z E. w
( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
)
4 19.8a 1583 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )
5419.23bi 1585 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
65ex 114 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
7 vex 2733 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
8 vex 2733 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
97, 8opth 4220 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
109anbi1i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( (
z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
11102exbii 1599 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
12 nfe1 1489 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
13 dveeq2or 1809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  x  \/  F/ y  z  =  x )
14 nfae 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y A. y  y  =  x
15 anass 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) ) )
16 19.8a 1583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1817anim2d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
1915, 18syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
2014, 19eximd 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
21 biidd 171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  <-> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
2221drex1 1791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  <->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2320, 22sylibd 148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2415exbii 1598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  E. y ( z  =  x  /\  (
w  =  y  /\  ph ) ) )
25 19.40 1624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
26 19.9t 1635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( E. y 
z  =  x  <->  z  =  x ) )
2726biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( E. y 
z  =  x  -> 
z  =  x ) )
2827anim1d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2925, 28syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( E. y
( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
3024, 29syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( E. y
( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
31 19.8a 1583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F/ y  z  =  x  ->  ( E. y
( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3323, 32jaoi 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  y  =  x  \/  F/ y  z  =  x )  ->  ( E. y
( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3512, 34exlimi 1587 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) )
36 euequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! x  x  =  z
37 equcom 1699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3837eubii 2028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! x  x  =  z  <-> 
E! x  z  =  x )
3936, 38mpbi 144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! x  z  =  x
40 eupick 2098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! x  z  =  x  /\  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )  -> 
( z  =  x  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
4139, 40mpan 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( z  =  x  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) )
4241com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
43 euequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! y  y  =  w
44 equcom 1699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
4544eubii 2028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  y  =  w  <-> 
E! y  w  =  y )
4643, 45mpbi 144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! y  w  =  y
47 eupick 2098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! y  w  =  y  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4846, 47mpan 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4948com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ph ) )
5042, 49sylan9 407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ph ) )
5135, 50syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ph ) )
5211, 51syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
539, 52sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
546, 53impbid 128 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
55 eqeq1 2177 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.
) )
5655anbi1d 462 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
57562exbidv 1861 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
5857bibi2d 231 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ph  <->  E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )  <->  ( ph  <->  E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5955, 58imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )  <-> 
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) ) )
6054, 59mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6160adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6261exlimivv 1889 . . 3  |-  ( E. z E. w ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
633, 62sylbi 120 . 2  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6463pm2.43i 49 1  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703   A.wal 1346    = wceq 1348   F/wnf 1453   E.wex 1485   E!weu 2019   <.cop 3584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590
This theorem is referenced by:  copsex2t  4228  copsex2g  4229  opabid  4240  mosubopt  4674
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