Theorem nn0addcli 9277

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcl.1	|- M e. NN0
nn0addcl.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0addcli	|- ( M + N ) e. NN0

Proof of Theorem nn0addcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl.1	. 2 |- M e. NN0
2		nn0addcl.2	. 2 |- N e. NN0
3		nn0addcl 9275	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( M + N ) e. NN0

Syntax hints:   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   + caddc 7875   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  numcl  9460  deccl  9462  numsucc  9487