Theorem nn0mulcli 9340

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcl.1	|- M e. NN0
nn0addcl.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcli	|- ( M x. N ) e. NN0

Proof of Theorem nn0mulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl.1	. 2 |- M e. NN0
2		nn0addcl.2	. 2 |- N e. NN0
3		nn0mulcl 9338	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( M x. N ) e. NN0

Syntax hints:   e. wcel 2177  (class class class)co 5951   x. cmul 7937   NN0cn0 9302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252  df-inn 9044  df-n0 9303

This theorem is referenced by:  numnncl  9520  num0u  9521  numcl  9523  numsuc  9524  numlt  9535  decle  9544  decrmanc  9567  decsubi  9573  decmul1  9574  decmulnc  9577  decmul10add  9579  expnass  10797  dec2dvds  12778  dec5dvds  12779  gcdi  12787  decsplit  12796