Theorem nn0mulcl 9610

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9318	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9575	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnmulcl 9334	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0mulcl 9608	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M x. N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 428	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M x. N ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220  (class class class)co 6088   CCcc 8183   x. cmul 8190   NNcn 9313   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nn0mulcli  9612  nn0mulcld  9636  zmulcl  9709  nn0expcl  11011  expmul  11042  fprodnn0cl  12404  crth  13031  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  chtublem  16295  bcmax  16305  bcp1ctr  16306  bclbnd  16307