Theorem nn0addcli 9374

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcl.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcl.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0addcli	⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0addcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2		nn0addcl.2	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3		nn0addcl 9372	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974   + caddc 7970  ℕ₀cn0 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0id 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-n0 9338

This theorem is referenced by:  numcl  9558  deccl  9560  numsucc  9585  modsubi  12908