Theorem nn0addcli 9529

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0addcl.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcl.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0addcli	⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0addcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2		nn0addcl.2	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
3		nn0addcl 9527	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049   + caddc 8126  ℕ₀cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0id 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by:  numcl  9717  deccl  9719  numsucc  9744  modsubi  13110