Theorem numsucc 9361

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	|- Y e. NN0
numsucc.2	|- T = ( Y + 1 )
numsucc.3	|- A e. NN0
numsucc.4	|- ( A + 1 ) = B
numsucc.5	|- N = ( ( T x. A ) + Y )

Assertion

Ref	Expression
numsucc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 |- T = ( Y + 1 )
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 |- Y e. NN0
3		1nn0 9130	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9151	. . . . . . 7 |- ( Y + 1 ) e. NN0
5	1, 4	eqeltri 2239	. . . . . 6 |- T e. NN0
6	5	nn0cni 9126	. . . . 5 |- T e. CC
7	6	mulid1i 7901	. . . 4 |- ( T x. 1 ) = T
8	7	oveq2i 5853	. . 3 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
9		numsucc.3	. . . . 5 |- A e. NN0
10	9	nn0cni 9126	. . . 4 |- A e. CC
11		ax-1cn 7846	. . . 4 |- 1 e. CC
12	6, 10, 11	adddii 7909	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
13	1	eqcomi 2169	. . . 4 |- ( Y + 1 ) = T
14		numsucc.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + Y )
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9335	. . 3 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + T )
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2197	. 2 |- ( N + 1 ) = ( T x. ( A + 1 ) )
17		numsucc.4	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
18	17	oveq2i 5853	. 2 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( T x. B )
19	9, 3	nn0addcli 9151	. . . 4 |- ( A + 1 ) e. NN0
20	17, 19	eqeltrri 2240	. . 3 |- B e. NN0
21	5, 20	num0u 9332	. 2 |- ( T x. B ) = ( ( T x. B ) + 0 )
22	16, 18, 21	3eqtri 2190	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  decsucc  9362