Theorem numsucc 9649

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	|- Y e. NN0
numsucc.2	|- T = ( Y + 1 )
numsucc.3	|- A e. NN0
numsucc.4	|- ( A + 1 ) = B
numsucc.5	|- N = ( ( T x. A ) + Y )

Assertion

Ref	Expression
numsucc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 |- T = ( Y + 1 )
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 |- Y e. NN0
3		1nn0 9417	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9438	. . . . . . 7 |- ( Y + 1 ) e. NN0
5	1, 4	eqeltri 2304	. . . . . 6 |- T e. NN0
6	5	nn0cni 9413	. . . . 5 |- T e. CC
7	6	mulridi 8180	. . . 4 |- ( T x. 1 ) = T
8	7	oveq2i 6028	. . 3 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
9		numsucc.3	. . . . 5 |- A e. NN0
10	9	nn0cni 9413	. . . 4 |- A e. CC
11		ax-1cn 8124	. . . 4 |- 1 e. CC
12	6, 10, 11	adddii 8188	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
13	1	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( Y + 1 ) = T
14		numsucc.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + Y )
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9623	. . 3 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + T )
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2263	. 2 |- ( N + 1 ) = ( T x. ( A + 1 ) )
17		numsucc.4	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
18	17	oveq2i 6028	. 2 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( T x. B )
19	9, 3	nn0addcli 9438	. . . 4 |- ( A + 1 ) e. NN0
20	17, 19	eqeltrri 2305	. . 3 |- B e. NN0
21	5, 20	num0u 9620	. 2 |- ( T x. B ) = ( ( T x. B ) + 0 )
22	16, 18, 21	3eqtri 2256	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   NN0cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  decsucc  9650