Theorem numsucc 9542

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	|- Y e. NN0
numsucc.2	|- T = ( Y + 1 )
numsucc.3	|- A e. NN0
numsucc.4	|- ( A + 1 ) = B
numsucc.5	|- N = ( ( T x. A ) + Y )

Assertion

Ref	Expression
numsucc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 |- T = ( Y + 1 )
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 |- Y e. NN0
3		1nn0 9310	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9331	. . . . . . 7 |- ( Y + 1 ) e. NN0
5	1, 4	eqeltri 2277	. . . . . 6 |- T e. NN0
6	5	nn0cni 9306	. . . . 5 |- T e. CC
7	6	mulridi 8073	. . . 4 |- ( T x. 1 ) = T
8	7	oveq2i 5954	. . 3 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
9		numsucc.3	. . . . 5 |- A e. NN0
10	9	nn0cni 9306	. . . 4 |- A e. CC
11		ax-1cn 8017	. . . 4 |- 1 e. CC
12	6, 10, 11	adddii 8081	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
13	1	eqcomi 2208	. . . 4 |- ( Y + 1 ) = T
14		numsucc.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + Y )
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9516	. . 3 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + T )
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2236	. 2 |- ( N + 1 ) = ( T x. ( A + 1 ) )
17		numsucc.4	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
18	17	oveq2i 5954	. 2 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( T x. B )
19	9, 3	nn0addcli 9331	. . . 4 |- ( A + 1 ) e. NN0
20	17, 19	eqeltrri 2278	. . 3 |- B e. NN0
21	5, 20	num0u 9513	. 2 |- ( T x. B ) = ( ( T x. B ) + 0 )
22	16, 18, 21	3eqtri 2229	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Syntax hints:   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   NN0cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  decsucc  9543