Theorem numsucc 9487

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	|- Y e. NN0
numsucc.2	|- T = ( Y + 1 )
numsucc.3	|- A e. NN0
numsucc.4	|- ( A + 1 ) = B
numsucc.5	|- N = ( ( T x. A ) + Y )

Assertion

Ref	Expression
numsucc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 |- T = ( Y + 1 )
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 |- Y e. NN0
3		1nn0 9256	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9277	. . . . . . 7 |- ( Y + 1 ) e. NN0
5	1, 4	eqeltri 2266	. . . . . 6 |- T e. NN0
6	5	nn0cni 9252	. . . . 5 |- T e. CC
7	6	mulid1i 8021	. . . 4 |- ( T x. 1 ) = T
8	7	oveq2i 5929	. . 3 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
9		numsucc.3	. . . . 5 |- A e. NN0
10	9	nn0cni 9252	. . . 4 |- A e. CC
11		ax-1cn 7965	. . . 4 |- 1 e. CC
12	6, 10, 11	adddii 8029	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
13	1	eqcomi 2197	. . . 4 |- ( Y + 1 ) = T
14		numsucc.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + Y )
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9461	. . 3 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + T )
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2225	. 2 |- ( N + 1 ) = ( T x. ( A + 1 ) )
17		numsucc.4	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
18	17	oveq2i 5929	. 2 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( T x. B )
19	9, 3	nn0addcli 9277	. . . 4 |- ( A + 1 ) e. NN0
20	17, 19	eqeltrri 2267	. . 3 |- B e. NN0
21	5, 20	num0u 9458	. 2 |- ( T x. B ) = ( ( T x. B ) + 0 )
22	16, 18, 21	3eqtri 2218	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  decsucc  9488