Theorem numsucc 9543

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numsucc.1	|- Y e. NN0
numsucc.2	|- T = ( Y + 1 )
numsucc.3	|- A e. NN0
numsucc.4	|- ( A + 1 ) = B
numsucc.5	|- N = ( ( T x. A ) + Y )

Assertion

Ref	Expression
numsucc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Proof of Theorem numsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsucc.2	. . . . . . 7 |- T = ( Y + 1 )
2		numsucc.1	. . . . . . . 8 |- Y e. NN0
3		1nn0 9311	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9332	. . . . . . 7 |- ( Y + 1 ) e. NN0
5	1, 4	eqeltri 2278	. . . . . 6 |- T e. NN0
6	5	nn0cni 9307	. . . . 5 |- T e. CC
7	6	mulridi 8074	. . . 4 |- ( T x. 1 ) = T
8	7	oveq2i 5955	. . 3 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
9		numsucc.3	. . . . 5 |- A e. NN0
10	9	nn0cni 9307	. . . 4 |- A e. CC
11		ax-1cn 8018	. . . 4 |- 1 e. CC
12	6, 10, 11	adddii 8082	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
13	1	eqcomi 2209	. . . 4 |- ( Y + 1 ) = T
14		numsucc.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + Y )
15	5, 9, 2, 13, 14	numsuc 9517	. . 3 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + T )
16	8, 12, 15	3eqtr4ri 2237	. 2 |- ( N + 1 ) = ( T x. ( A + 1 ) )
17		numsucc.4	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
18	17	oveq2i 5955	. 2 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( T x. B )
19	9, 3	nn0addcli 9332	. . . 4 |- ( A + 1 ) e. NN0
20	17, 19	eqeltrri 2279	. . 3 |- B e. NN0
21	5, 20	num0u 9514	. 2 |- ( T x. B ) = ( ( T x. B ) + 0 )
22	16, 18, 21	3eqtri 2230	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. B ) + 0 )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  decsucc  9544