Theorem deccl 9303

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	|- A e. NN0
deccl.2	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
deccl	|- ; A B e. NN0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9290	. 2 |- ; A B = ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B )
2		9nn0 9108	. . . 4 |- 9 e. NN0
3		1nn0 9100	. . . 4 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9121	. . 3 |- ( 9 + 1 ) e. NN0
5		deccl.1	. . 3 |- A e. NN0
6		deccl.2	. . 3 |- B e. NN0
7	4, 5, 6	numcl 9301	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B ) e. NN0
8	1, 7	eqeltri 2230	1 |- ; A B e. NN0

Syntax hints:   e. wcel 2128  (class class class)co 5821   1c1 7727   + caddc 7729   x. cmul 7731   9c9 8885   NN0cn0 9084  ;cdc 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-sub 8042  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-5 8889  df-6 8890  df-7 8891  df-8 8892  df-9 8893  df-n0 9085  df-dec 9290

This theorem is referenced by:  10nn0  9306  3declth  9320  3decltc  9321  decleh  9323  sq10  10579  3dvds2dec  11749  1kp2ke3k  13271