Theorem deccl 9796

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
deccl.1	|- A e. NN0
deccl.2	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
deccl	|- ; A B e. NN0

Proof of Theorem deccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 9783	. 2 |- ; A B = ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B )
2		9nn0 9592	. . . 4 |- 9 e. NN0
3		1nn0 9584	. . . 4 |- 1 e. NN0
4	2, 3	nn0addcli 9605	. . 3 |- ( 9 + 1 ) e. NN0
5		deccl.1	. . 3 |- A e. NN0
6		deccl.2	. . 3 |- B e. NN0
7	4, 5, 6	numcl 9794	. 2 |- ( ( ( 9 + 1 ) x. A ) + B ) e. NN0
8	1, 7	eqeltri 2311	1 |- ; A B e. NN0

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   9c9 9365   NN0cn0 9568  ;cdc 9782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783

This theorem is used by:  11nn0  9797  12nn0  9798  16nn0  9799  25nn0  9800  10nn0  9803  3declth  9818  3decltc  9819  decleh  9821  sq10  11166  3dvds2dec  12652  dec2dvds  13213  dec5dvds2  13215  2exp8  13238  2exp11  13239  2exp16  13240  prmlem2  13257  37prm  13258  43prm  13259  83prm  13260  139prm  13261  163prm  13262  317prm  13263  631prm  13264  1259lem1  13265  1259lem2  13266  1259lem3  13267  1259lem4  13268  1259lem5  13269  1259prm  13270  log2ublem3  16184  log2ublog2  16185  birthdaylog2  16189  bpos1  16271  bpos  16281  1kp2ke3k  16904