Theorem nn0addcl 9275

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 8987	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9241	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnaddcl 9002	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M + N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0addcl 9273	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 424	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   C_ wss 3153  (class class class)co 5918   CCcc 7870   + caddc 7875   NNcn 8982   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  nn0addcli  9277  peano2nn0  9280  nn0addcld  9297  nn0readdcl  9299  difelfznle  10201  elfzodifsumelfzo  10268  expadd  10652  faclbnd6  10815  facavg  10817  fsumnn0cl  11546  bcxmas  11632  eftlub  11833  4sqlem1  12526  nn0subm  14071  2sqlem7  15208