Theorem nn0addcl 9602

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9311	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9568	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnaddcl 9326	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M + N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0addcl 9600	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 428	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   NNcn 9306   NN0cn0 9567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-n0 9568

This theorem is used by:  nn0addcli  9604  peano2nn0  9607  nn0addcld  9628  nn0readdcl  9630  difelfznle  10552  elfzodifsumelfzo  10629  expadd  11031  faclbnd6  11196  facavg  11198  ccatlen  11377  ccatrn  11391  ccatalpha  11395  swrdccat2  11457  swrdswrdlem  11490  swrdswrd  11491  swrdccatin1  11511  pfxccatin12lem3  11518  fsumnn0cl  12186  bcxmas  12272  eftlub  12473  4sqlem1  13187  nn0subm  14969  psrbagaddclfi  15110  mplsubgfilemcl  15139  2sqlem7  16338  clwwlkccatlem  16739