Theorem nn0addcl 9404

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9115	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9370	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnaddcl 9130	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M + N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0addcl 9402	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 424	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3197  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  nn0addcli  9406  peano2nn0  9409  nn0addcld  9426  nn0readdcl  9428  difelfznle  10331  elfzodifsumelfzo  10407  expadd  10803  faclbnd6  10966  facavg  10968  ccatlen  11130  ccatrn  11144  swrdccat2  11203  swrdswrdlem  11236  swrdswrd  11237  swrdccatin1  11257  pfxccatin12lem3  11264  fsumnn0cl  11914  bcxmas  12000  eftlub  12201  4sqlem1  12911  nn0subm  14547  mplsubgfilemcl  14663  2sqlem7  15800