Theorem nn0addcl 9496

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9207	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9462	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnaddcl 9222	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M + N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0addcl 9494	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 424	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3201  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  nn0addcli  9498  peano2nn0  9501  nn0addcld  9520  nn0readdcl  9522  difelfznle  10432  elfzodifsumelfzo  10509  expadd  10906  faclbnd6  11069  facavg  11071  ccatlen  11238  ccatrn  11252  ccatalpha  11256  swrdccat2  11318  swrdswrdlem  11351  swrdswrd  11352  swrdccatin1  11372  pfxccatin12lem3  11379  fsumnn0cl  12044  bcxmas  12130  eftlub  12331  4sqlem1  13041  nn0subm  14679  mplsubgfilemcl  14800  2sqlem7  15940  clwwlkccatlem  16341