Theorem nn0addcl 9365

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 9076	. 2 |- NN C_ CC
2		id 19	. . 3 |- ( NN C_ CC -> NN C_ CC )
3		df-n0 9331	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
4		nnaddcl 9091	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( M + N ) e. NN )
6	2, 3, 5	un0addcl 9363	. 2 |- ( ( NN C_ CC /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
7	1, 6	mpan 424	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   C_ wss 3174  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  nn0addcli  9367  peano2nn0  9370  nn0addcld  9387  nn0readdcl  9389  difelfznle  10292  elfzodifsumelfzo  10367  expadd  10763  faclbnd6  10926  facavg  10928  ccatlen  11089  ccatrn  11103  swrdccat2  11162  swrdswrdlem  11195  swrdswrd  11196  swrdccatin1  11216  pfxccatin12lem3  11223  fsumnn0cl  11829  bcxmas  11915  eftlub  12116  4sqlem1  12826  nn0subm  14460  mplsubgfilemcl  14576  2sqlem7  15713