Theorem nn0nepnf 9368

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8116	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2473	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 9306	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 664	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2268	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 677	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2430	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   RRcr 7926   +oocpnf 8106   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024  ax-rnegex 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-uni 3851  df-int 3886  df-pnf 8111  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9370  xnn0nnen  10584  fxnn0nninf  10586  0tonninf  10587  1tonninf  10588