Theorem nn0nepnf 8654

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7450	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2348	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 8592	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 621	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2147	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 633	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2305	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   RRcr 7270   +oocpnf 7440   NN0cn0 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-un 4227  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1re 7360  ax-addrcl 7363  ax-rnegex 7375

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-uni 3631  df-int 3666  df-pnf 7445  df-inn 8335  df-n0 8584

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  8656  fxnn0nninf  9747  0tonninf  9748  1tonninf  9749