Theorem nn0nepnf 9278

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8030	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2457	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 9216	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 663	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2252	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 676	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2414	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   RRcr 7841   +oocpnf 8020   NN0cn0 9207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939  ax-rnegex 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-uni 3825  df-int 3860  df-pnf 8025  df-inn 8951  df-n0 9208

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9280  fxnn0nninf  10471  0tonninf  10472  1tonninf  10473