Theorem nn0nepnf 9072

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7831	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2406	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 9010	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 652	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2203	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 665	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2363	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   RRcr 7643   +oocpnf 7821   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-rnegex 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-uni 3745  df-int 3780  df-pnf 7826  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9074  fxnn0nninf  10242  0tonninf  10243  1tonninf  10244