Theorem nn0nepnf 9206

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7961	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2437	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 9144	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 657	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2233	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 670	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2394	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   RRcr 7773   +oocpnf 7951   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-int 3832  df-pnf 7956  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9208  fxnn0nninf  10394  0tonninf  10395  1tonninf  10396