Theorem nn0nepnf 9320

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8068	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2464	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 9258	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 663	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2259	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 676	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2421	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   RRcr 7878   +oocpnf 8058   NN0cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-uni 3840  df-int 3875  df-pnf 8063  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9322  xnn0nnen  10529  fxnn0nninf  10531  0tonninf  10532  1tonninf  10533