Theorem nn0nepnf 9366

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8114	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2473	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 9304	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 664	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2268	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2430	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  ℝcr 7924  +∞cpnf 8104  ℕ₀cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-uni 3851  df-int 3886  df-pnf 8109  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9368  xnn0nnen  10582  fxnn0nninf  10584  0tonninf  10585  1tonninf  10586