Theorem nn0nepnf 9193

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7948	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2437	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 9131	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 657	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2233	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 670	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2394	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ℝcr 7760  +∞cpnf 7938  ℕ₀cn0 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-un 4416  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1re 7855  ax-addrcl 7858  ax-rnegex 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-uni 3795  df-int 3830  df-pnf 7943  df-inn 8866  df-n0 9123

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9195  fxnn0nninf  10381  0tonninf  10382  1tonninf  10383