Theorem nn0nepnf 9314

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8063	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2461	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 9252	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2418	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ℝcr 7873  +∞cpnf 8053  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-rnegex 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-uni 3837  df-int 3872  df-pnf 8058  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9316  xnn0nnen  10511  fxnn0nninf  10513  0tonninf  10514  1tonninf  10515