ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0nepnf GIF version

Theorem nn0nepnf 8636
Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0nepnf (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf
StepHypRef Expression
1 pnfnre 7430 . . . . 5 +∞ ∉ ℝ
21neli 2346 . . . 4 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 nn0re 8572 . . . 4 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
42, 3mto 621 . . 3 ¬ +∞ ∈ ℕ0
5 eleq1 2145 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
64, 5mtbiri 633 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
76necon2ai 2303 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  cr 7250  +∞cpnf 7420  0cn0 8563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-un 4223  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1re 7340  ax-addrcl 7343  ax-rnegex 7355
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-uni 3628  df-int 3663  df-pnf 7425  df-inn 8315  df-n0 8564
This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  8638  fxnn0nninf  9731  0tonninf  9732  1tonninf  9733
  Copyright terms: Public domain W3C validator