Theorem nn0nepnf 9638

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 8367	. . . . 5 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2517	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		nn0re 9572	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
4	2, 3	mto 672	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
5		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
6	4, 5	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
7	6	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ≠ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ℝcr 8178  +∞cpnf 8357  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-uni 3936  df-int 3971  df-pnf 8362  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  nn0nepnfd  9640  xnn0nnen  10874  fxnn0nninf  10876  0tonninf  10877  1tonninf  10878