Theorem 0tonninf 10511

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	|- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5555	. . . 4 |- ( I ` 0 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 )
3		0xnn0 9309	. . . . 5 |- 0 e. NN0*
4		0nn0 9255	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5		nn0nepnf 9311	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 =/= +oo )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 =/= +oo
7	6	necomi 2449	. . . . 5 |- +oo =/= 0
8		fvunsng 5752	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0* /\ +oo =/= 0 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 )
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
11	10	frechashgf1o 10499	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
12		f1ocnv 5513	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
14		f1of 5500	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
16		fvco3 5628	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) ) )
17	15, 4, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
18	2, 9, 17	3eqtri 2218	. . 3 |- ( I ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
19		0zd 9329	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
20	19, 10	frec2uz0d 10470	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
21	20	mptru 1373	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = 0
22		peano1 4626	. . . . . 6 |- (/) e. om
23		f1ocnvfv 5822	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
24	11, 22, 23	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
26	25	fveq2i 5557	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
27		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
28	27	ifbid 3578	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
29	28	mpteq2dv 4120	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
31		omex 4625	. . . . . 6 |- om e. _V
32	31	mptex 5784	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5637	. . . 4 |- ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
35	18, 26, 34	3eqtri 2218	. 2 |- ( I ` 0 ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
36		noel 3450	. . . 4 |- -. i e. (/)
37	36	iffalsei 3566	. . 3 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
38	37	mpteq2i 4116	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
39		eqidd 2194	. . 3 |- ( i = x -> (/) = (/) )
40	39	cbvmptv 4125	. 2 |- ( i e. om |-> (/) ) = ( x e. om |-> (/) )
41	35, 38, 40	3eqtri 2218	1 |- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   =/= wne 2364   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   |-> cmpt 4090   omcom 4622   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   o. ccom 4663   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1oc1o 6462   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   +oocpnf 8051   NN0cn0 9240  NN0*cxnn0 9303   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by: (None)