Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0tonninf Unicode version

Theorem 0tonninf 10224
 Description: The mapping of zero into ℕ∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g frec
fxnn0nninf.f
fxnn0nninf.i
Assertion
Ref Expression
0tonninf
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem 0tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5
21fveq1i 5422 . . . 4
3 0xnn0 9058 . . . . 5 NN0*
4 0nn0 9004 . . . . . . 7
5 nn0nepnf 9060 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6
76necomi 2393 . . . . 5
8 fvunsng 5614 . . . . 5 NN0*
93, 7, 8mp2an 422 . . . 4
10 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 frec
1110frechashgf1o 10213 . . . . . . 7
12 f1ocnv 5380 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
14 f1of 5367 . . . . . 6
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5
16 fvco3 5492 . . . . 5
1715, 4, 16mp2an 422 . . . 4
182, 9, 173eqtri 2164 . . 3
19 0zd 9078 . . . . . . 7
2019, 10frec2uz0d 10184 . . . . . 6
2120mptru 1340 . . . . 5
22 peano1 4508 . . . . . 6
23 f1ocnvfv 5680 . . . . . 6
2411, 22, 23mp2an 422 . . . . 5
2521, 24ax-mp 5 . . . 4
2625fveq2i 5424 . . 3
27 eleq2 2203 . . . . . . 7
2827ifbid 3493 . . . . . 6
2928mpteq2dv 4019 . . . . 5
30 fxnn0nninf.f . . . . 5
31 omex 4507 . . . . . 6
3231mptex 5646 . . . . 5
3329, 30, 32fvmpt3i 5501 . . . 4
3422, 33ax-mp 5 . . 3
3518, 26, 343eqtri 2164 . 2
36 noel 3367 . . . 4
3736iffalsei 3483 . . 3
3837mpteq2i 4015 . 2
39 eqidd 2140 . . 3
4039cbvmptv 4024 . 2
4135, 38, 403eqtri 2164 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1331   wtru 1332   wcel 1480   wne 2308   cun 3069  c0 3363  cif 3474  csn 3527  cop 3530   cmpt 3989  com 4504   cxp 4537  ccnv 4538   ccom 4543  wf 5119  wf1o 5122  cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287  c1o 6306  cc0 7632  c1 7633   caddc 7635   cpnf 7809  cn0 8989  NN0*cxnn0 9052  cz 9066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-xnn0 9053  df-z 9067  df-uz 9339 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator