Theorem 0tonninf 10765

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	|- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5649	. . . 4 |- ( I ` 0 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 )
3		0xnn0 9532	. . . . 5 |- 0 e. NN0*
4		0nn0 9476	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5		nn0nepnf 9534	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 =/= +oo )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 =/= +oo
7	6	necomi 2488	. . . . 5 |- +oo =/= 0
8		fvunsng 5856	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0* /\ +oo =/= 0 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 )
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
11	10	frechashgf1o 10753	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
12		f1ocnv 5605	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
14		f1of 5592	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
16		fvco3 5726	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) ) )
17	15, 4, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
18	2, 9, 17	3eqtri 2256	. . 3 |- ( I ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
19		0zd 9552	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
20	19, 10	frec2uz0d 10724	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
21	20	mptru 1407	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = 0
22		peano1 4698	. . . . . 6 |- (/) e. om
23		f1ocnvfv 5930	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
24	11, 22, 23	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
26	25	fveq2i 5651	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
27		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
28	27	ifbid 3631	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
29	28	mpteq2dv 4185	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
31		omex 4697	. . . . . 6 |- om e. _V
32	31	mptex 5890	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5735	. . . 4 |- ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
35	18, 26, 34	3eqtri 2256	. 2 |- ( I ` 0 ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
36		noel 3500	. . . 4 |- -. i e. (/)
37	36	iffalsei 3618	. . 3 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
38	37	mpteq2i 4181	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
39		eqidd 2232	. . 3 |- ( i = x -> (/) = (/) )
40	39	cbvmptv 4190	. 2 |- ( i e. om |-> (/) ) = ( x e. om |-> (/) )
41	35, 38, 40	3eqtri 2256	1 |- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   =/= wne 2403   u. cun 3199   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   <.cop 3676   |-> cmpt 4155   omcom 4694   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   o. ccom 4735   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028  freccfrec 6599   1oc1o 6618   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   +oocpnf 8270   NN0cn0 9461  NN0*cxnn0 9526   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-xnn0 9527  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by: (None)