Theorem 0tonninf 10585

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	|- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5577	. . . 4 |- ( I ` 0 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 )
3		0xnn0 9364	. . . . 5 |- 0 e. NN0*
4		0nn0 9310	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5		nn0nepnf 9366	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 =/= +oo )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 =/= +oo
7	6	necomi 2461	. . . . 5 |- +oo =/= 0
8		fvunsng 5778	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0* /\ +oo =/= 0 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 )
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
11	10	frechashgf1o 10573	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
12		f1ocnv 5535	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
14		f1of 5522	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
16		fvco3 5650	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) ) )
17	15, 4, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
18	2, 9, 17	3eqtri 2230	. . 3 |- ( I ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
19		0zd 9384	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
20	19, 10	frec2uz0d 10544	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
21	20	mptru 1382	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = 0
22		peano1 4642	. . . . . 6 |- (/) e. om
23		f1ocnvfv 5848	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
24	11, 22, 23	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
26	25	fveq2i 5579	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
27		eleq2 2269	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
28	27	ifbid 3592	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
29	28	mpteq2dv 4135	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
31		omex 4641	. . . . . 6 |- om e. _V
32	31	mptex 5810	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5659	. . . 4 |- ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
35	18, 26, 34	3eqtri 2230	. 2 |- ( I ` 0 ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
36		noel 3464	. . . 4 |- -. i e. (/)
37	36	iffalsei 3580	. . 3 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
38	37	mpteq2i 4131	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
39		eqidd 2206	. . 3 |- ( i = x -> (/) = (/) )
40	39	cbvmptv 4140	. 2 |- ( i e. om |-> (/) ) = ( x e. om |-> (/) )
41	35, 38, 40	3eqtri 2230	1 |- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   =/= wne 2376   u. cun 3164   (/)c0 3460   ifcif 3571   {csn 3633   <.cop 3636   |-> cmpt 4105   omcom 4638   X. cxp 4673   `'ccnv 4674   o. ccom 4679   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  freccfrec 6476   1oc1o 6495   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   +oocpnf 8104   NN0cn0 9295  NN0*cxnn0 9358   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-xnn0 9359  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by: (None)