Theorem 0tonninf 10441

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	|- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5518	. . . 4 |- ( I ` 0 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 )
3		0xnn0 9247	. . . . 5 |- 0 e. NN0*
4		0nn0 9193	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5		nn0nepnf 9249	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 =/= +oo )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 =/= +oo
7	6	necomi 2432	. . . . 5 |- +oo =/= 0
8		fvunsng 5712	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0* /\ +oo =/= 0 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 )
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
11	10	frechashgf1o 10430	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
12		f1ocnv 5476	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
14		f1of 5463	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
16		fvco3 5589	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) ) )
17	15, 4, 16	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
18	2, 9, 17	3eqtri 2202	. . 3 |- ( I ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
19		0zd 9267	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
20	19, 10	frec2uz0d 10401	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
21	20	mptru 1362	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = 0
22		peano1 4595	. . . . . 6 |- (/) e. om
23		f1ocnvfv 5782	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
24	11, 22, 23	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
26	25	fveq2i 5520	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
27		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
28	27	ifbid 3557	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
29	28	mpteq2dv 4096	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
31		omex 4594	. . . . . 6 |- om e. _V
32	31	mptex 5744	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5598	. . . 4 |- ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
35	18, 26, 34	3eqtri 2202	. 2 |- ( I ` 0 ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
36		noel 3428	. . . 4 |- -. i e. (/)
37	36	iffalsei 3545	. . 3 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
38	37	mpteq2i 4092	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
39		eqidd 2178	. . 3 |- ( i = x -> (/) = (/) )
40	39	cbvmptv 4101	. 2 |- ( i e. om |-> (/) ) = ( x e. om |-> (/) )
41	35, 38, 40	3eqtri 2202	1 |- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   =/= wne 2347   u. cun 3129   (/)c0 3424   ifcif 3536   {csn 3594   <.cop 3597   |-> cmpt 4066   omcom 4591   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   o. ccom 4632   -->wf 5214   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393   1oc1o 6412   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   +oocpnf 7991   NN0cn0 9178  NN0*cxnn0 9241   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-xnn0 9242  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by: (None)