Theorem 0tonninf 9908

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	|- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5321	. . . 4 |- ( I ` 0 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 )
3		0xnn0 8805	. . . . 5 |- 0 e. NN0*
4		0nn0 8751	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
5		nn0nepnf 8807	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 =/= +oo )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0 =/= +oo
7	6	necomi 2341	. . . . 5 |- +oo =/= 0
8		fvunsng 5507	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0* /\ +oo =/= 0 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 418	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 0 ) = ( ( F o. `' G ) ` 0 )
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
11	10	frechashgf1o 9898	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
12		f1ocnv 5281	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
14		f1of 5268	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
16		fvco3 5390	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) ) )
17	15, 4, 16	mp2an 418	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
18	2, 9, 17	3eqtri 2113	. . 3 |- ( I ` 0 ) = ( F ` ( `' G ` 0 ) )
19		0zd 8825	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
20	19, 10	frec2uz0d 9869	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
21	20	mptru 1299	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = 0
22		peano1 4424	. . . . . 6 |- (/) e. om
23		f1ocnvfv 5574	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ (/) e. om ) -> ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) ) )
24	11, 22, 23	mp2an 418	. . . . 5 |- ( ( G ` (/) ) = 0 -> ( `' G ` 0 ) = (/) )
25	21, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- ( `' G ` 0 ) = (/)
26	25	fveq2i 5323	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 0 ) ) = ( F ` (/) )
27		eleq2 2152	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
28	27	ifbid 3418	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
29	28	mpteq2dv 3937	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
31		omex 4423	. . . . . 6 |- om e. _V
32	31	mptex 5539	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5399	. . . 4 |- ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	22, 33	ax-mp 7	. . 3 |- ( F ` (/) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
35	18, 26, 34	3eqtri 2113	. 2 |- ( I ` 0 ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
36		noel 3293	. . . 4 |- -. i e. (/)
37	36	iffalsei 3408	. . 3 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
38	37	mpteq2i 3933	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
39		eqidd 2090	. . 3 |- ( i = x -> (/) = (/) )
40	39	cbvmptv 3942	. 2 |- ( i e. om |-> (/) ) = ( x e. om |-> (/) )
41	35, 38, 40	3eqtri 2113	1 |- ( I ` 0 ) = ( x e. om |-> (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   T. wtru 1291   e. wcel 1439   =/= wne 2256   u. cun 3000   (/)c0 3289   ifcif 3399   {csn 3452   <.cop 3455   |-> cmpt 3907   omcom 4420   X. cxp 4452   `'ccnv 4453   o. ccom 4458   -->wf 5026   -1-1-onto->wf1o 5029   ` cfv 5030  (class class class)co 5668  freccfrec 6171   1oc1o 6190   0cc0 7413   1c1 7414   + caddc 7416   +oocpnf 7582   NN0cn0 8736  NN0*cxnn0 8799   ZZcz 8813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-xnn0 8800  df-z 8814  df-uz 9083

This theorem is referenced by: (None)