ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0tonninf Unicode version

Theorem 0tonninf 10224
Description: The mapping of zero into ℕ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
0tonninf  |-  ( I `
 0 )  =  ( x  e.  om  |->  (/) )
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem 0tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
21fveq1i 5422 . . . 4  |-  ( I `
 0 )  =  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo , 
( om  X.  { 1o } ) >. } ) `
 0 )
3 0xnn0 9058 . . . . 5  |-  0  e. NN0*
4 0nn0 9004 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
5 nn0nepnf 9060 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  0  =/= +oo )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  =/= +oo
76necomi 2393 . . . . 5  |- +oo  =/=  0
8 fvunsng 5614 . . . . 5  |-  ( ( 0  e. NN0*  /\ +oo  =/=  0 )  ->  (
( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` 
0 )  =  ( ( F  o.  `' G ) `  0
) )
93, 7, 8mp2an 422 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` 
0 )  =  ( ( F  o.  `' G ) `  0
)
10 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
1110frechashgf1o 10213 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
12 f1ocnv 5380 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' G : NN0
-1-1-onto-> om )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  `' G : NN0
-1-1-onto-> om
14 f1of 5367 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN0 --> om )
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  `' G : NN0 --> om
16 fvco3 5492 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN0 --> om  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( F  o.  `' G ) `  0
)  =  ( F `
 ( `' G `  0 ) ) )
1715, 4, 16mp2an 422 . . . 4  |-  ( ( F  o.  `' G
) `  0 )  =  ( F `  ( `' G `  0 ) )
182, 9, 173eqtri 2164 . . 3  |-  ( I `
 0 )  =  ( F `  ( `' G `  0 ) )
19 0zd 9078 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
2019, 10frec2uz0d 10184 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( G `  (/) )  =  0 )
2120mptru 1340 . . . . 5  |-  ( G `
 (/) )  =  0
22 peano1 4508 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
23 f1ocnvfv 5680 . . . . . 6  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) ) )
2411, 22, 23mp2an 422 . . . . 5  |-  ( ( G `  (/) )  =  0  ->  ( `' G `  0 )  =  (/) )
2521, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' G `  0 )  =  (/)
2625fveq2i 5424 . . 3  |-  ( F `
 ( `' G `  0 ) )  =  ( F `  (/) )
27 eleq2 2203 . . . . . . 7  |-  ( n  =  (/)  ->  ( i  e.  n  <->  i  e.  (/) ) )
2827ifbid 3493 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
2928mpteq2dv 4019 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )
30 fxnn0nninf.f . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
31 omex 4507 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
3231mptex 5646 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V
3329, 30, 32fvmpt3i 5501 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )
3422, 33ax-mp 5 . . 3  |-  ( F `
 (/) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
3518, 26, 343eqtri 2164 . 2  |-  ( I `
 0 )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
36 noel 3367 . . . 4  |-  -.  i  e.  (/)
3736iffalsei 3483 . . 3  |-  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) )  =  (/)
3837mpteq2i 4015 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  (/) )
39 eqidd 2140 . . 3  |-  ( i  =  x  ->  (/)  =  (/) )
4039cbvmptv 4024 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  (/) )  =  ( x  e.  om  |->  (/) )
4135, 38, 403eqtri 2164 1  |-  ( I `
 0 )  =  ( x  e.  om  |->  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480    =/= wne 2308    u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530    |-> cmpt 3989   omcom 4504    X. cxp 4537   `'ccnv 4538    o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1oc1o 6306   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635   +oocpnf 7809   NN0cn0 8989  NN0*cxnn0 9052   ZZcz 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-xnn0 9053  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator